Lineární algebra

3
2 , 0, 1, 0, 0, −

1
2 ), pro sloupec (4, 2, −2)

T máme řešení

(−

1
3 , 0,

8
3 , 0, 0, −

1
3 ), pro sloupec (3, 2, 1)

T máme řešení (− 5

6 , 0,

5
3 , 0, 0,

1
6 ) a konečně pro sloupec (3, 0, −2)

T

máme řešení (

8
3 , 0,

2
3 , 0, 0, −

1
3 ). Zapíšeme-li tato řešení do sloupců vedle sebe, máme jedno z možných

řešení pro hledanou matici X. Když k této matici přičteme matici, která bude mít čtyři stejné sloupce
tvaru α (−1, 1, 0, 0, 0, 0)T + β (−3, 0, 0, 1, 0, 0)T + γ (1, 0, −2, 0, 1, 0)T , α, β, γ ∈ R, dostáváme zápis obecně
všech matic X, které vyhovují zadané maticové rovnici.

5.39. Věta. Nechť A je regulární matice a B je libovolná matice se stejným počtem řádků. Rovnost
A · X = B je ekvivalentní s (A|B) ∼ (E|X).

Důkaz. Protože A je regulární, má soustava soustav AX = B jediné řešení. Eliminujme rozšířenou
matici této soustavy soustav:

(A|B) ∼ (E|X).

Rozšířená matice (E|X) obsahuje vpravo od čáry řešení původní soustavy soustav AX = B právě tehdy,
když (E|X) vznikla eliminací z původní rozšířené matice (A|B).

5.40. Poznámka. Podobným postupem můžeme snadno obhájit známou metodu výpočtu inverzní ma-
tice (A|E) ∼ (E|A−1). Vpravo od E máme řešení soustavy soustav AX = E, tj. máme tam inverzní
matici.

5.41. Poznámka. Maticovou rovnici XA = B (při daných maticích A, B) bychom řešili například tak,
že transponujeme obě strany rovnosti. Tím dostáváme AT · XT = BT a problém je převeden na tvar, se
kterým už si víme rady.

5.42. Poznámka. Důkaz věty 6.31 (v následující kapitole) lze přeformulovat pomocí zde uvedené myš-
lenky soustavy soustav. To si dovolím přenechat čtenáři. Je to velmi názorné.