Lineární algebra

x = (α1, α2, . . . , αn)(B).

Existence a
jednoznač-
nost sou-
řadnic

6.11. Poznámka. Nechť B je báze lineárního prostoru L. Protože hBi = L, je každý prvek x lineární
kombinací prvků báze a tudíž každý prvek x má nějaké souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (B).
Následující věta ukazuje, že jsou tyto souřadnice určeny uspořádanou bází (B) jednoznačně.

6.12. Věta. Nechť (B) je uspořádaná báze lineárního porostoru L. Pak pro každý prvek x ∈ L jsou
souřadnice x vzhledem k bázi (B) určeny jednoznačně.

Důkaz. Označme (B) = (b1, b2, . . . , bn). Nechť x = (α1, α2, . . . , αn)(B) = (β1, β2, . . . , βn)(B). Ukážeme,
že pak je αi = βi, ∀i ∈ {1, . . . , n}. Podle definice 6.10 je

x = α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn,

x = β1 b1 + β2 b2 + · · · + βn bn.

Odečtením těchto rovností dostáváme

x − x = o = (α1 − β1) b1 + (α2 − β2) b2 + · · · + (αn − βn) bn.

Protože vektory báze b1, b2, . . . , bn jsou lineárně nezávislé, pouze triviální lineární kombinace může být
rovna nulovému vektoru. Všechny koeficienty uvedené lineární kombinace musejí tedy být rovny nule.
Tím dostáváme αi = βi, ∀i ∈ {1, . . . , n}.

6.13. Věta. Nechť (B) = (b1, b2, . . . , bn) je uspořádaná báze lineárního prostoru L. Pak pro každý prvek
a ∈ Rn, a = (α1, α2, . . . , αn), existuje x ∈ L takový, že x = (α1, α2, . . . , αn)(B).

Důkaz. Stačí volit x = α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn.

6.14. Poznámka. Nechť L je blíže neurčený lineární prostor, dim L = n. Souřadnice vektoru vzhledem
k uspořádané bázi nám podle právě dokázaných vět umožňuje jednoznačně podchytit každý vektor x ∈ L
pomocí uspořádané n-tice reálných čísel. Přesněji, při pevně volené uspořádané bázi (B) existuje ke
každému prvku x ∈ L jednoznačně určená uspořádaná n-tice a ∈ Rn, která tvoří souřadnice tohoto
vektoru vzhledem k bázi (B) a naopak.