Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
A
T
(B,C) ·
b1
..
.
bn
=
c1
..
.
cn
,
se kterou se můžeme setkat v některých učebnicích jako definiční rovností pro matici přechodu. Všimněme
si, že se zde pracuje s maticí transponovanou k matici přechodu. Někteří autoři proto definují místo matice
přechodu podle definice 6.18 matici k ní transponovanou.
6.21. Věta. Je-li A matice přechodu od báze (B) k bázi (C), pak A−1 je matice přechodu od báze (C)
k bázi (B).
Důkaz. Plyne rovnou vynásobením rovnosti (6.2) maticí A−1 zprava.
6.22. Příklad. Nechť L je lineární prostor polynomů z příkladů 6.15 a 6.16. Připomeňme uspořádané
báze z těchto příkladů: (B) = x + 1, x − 1, (x + 1)2, (x + 1)3
, (B0) = (1, x, x2, x3). Pak jsme schopni
podle definice 6.18 rovnou zapsat jednotlivé sloupce matice přechodu od báze (B0) k bázi (B):
(1, x, x
2, x3) ·
1 −1
1
1
1
1
2
3
0
0
1
3
0
0
0
1
= x + 1, x − 1, (x + 1)
2, (x + 1)3.
Pokud bychom chtěli najít matici přechodu od báze (B) k bázi (B0), není přímé zapsání složek jed-
notlivých sloupců tak jednoduché. Použijeme proto větu 6.21 a budeme počítat inverzní matici k právě
sestrojené matici:
1 −1
1
1
1 0 0 0
1
1
2
3
0 1 0 0
0
0
1
3
0 0 1 0
0
0
0
1
0 0 0 1
∼
1 0 0 0
1
2
1
2 −
3
2
5
2
0 1 0 0
− 1
2
1
2 −
1
2
1
2
0 0 1 0
0
0
1 −3
0 0 0 1
0
0
0
1
.
Zapíšeme ještě jednou obě matice přechodu od báze (B0) k (B) a od báze (B) k (B0):
A(B
0 ,B) =
1 −1
1
1
1
1
2
3
0
0
1
3
0
0
0
1
,
A(B,B
0 ) =
1
2
1
2 −
3
2
5
2
− 1
2
1
2 −
1
2
1
2
0
0
1 −3
0
0
0
1
.
Souřadnice
vektoru
a matice
přechodu
6.23. Věta. Nechť (B) a (C) jsou dvě uspořádané báze lineárního prostoru L, A(B,C) je matice přechodu
od (B) k (C). Pak pro souřadnice každého vektoru x ∈ L, x = (x1, x2, . . . , xn)(B) = (y1, y2, . . . , yn)(C)
platí