Lineární algebra

Prosté
zobrazení

7.5. Definice. Nechť L1 a L2 jsou libovolné množiny a uvažujme A : L1 → L2. Zobrazení A je prosté
(injektivní), pokud pro každé dva prvky x1 ∈ L1, x2 ∈ L1, x1 6= x2 platí A(x1) 6= A(x2).

Definice
lineárního
zobrazení

7.6. Definice. Nechť L1 a L2 jsou lineární prostory, A : L1 → L2 je zobrazení z L1 do L2. Zobrazení A
nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x ∈ L1, y ∈ L1, α ∈ R platí

(1)

A(x + y) = A(x) + A(y),

(2)

A(α · x) = α · A(x).

7.7. Poznámka. Lineární zobrazení „zachováváÿ operace sčítání a násobení konstantou. Sečteme-li
dva prvky z L1 a výsledek převedeme prostřednictvím lineárního zobrazení do L2, výjde totéž, jako
kdybychom nejprve jednotlivé prvky převedli prostřednictvím zobrazení do L2 a tam je sečetli. Všimneme
si, že první operace „+ÿ ve vlastnosti (1) je sčítáním definovaným na lineárním prostoru L1, zatímco
druhá operace „+ÿ v této vlastnosti je sčítáním definovaným na lineárním prostoru L2. Tato dvě sčítání
mohou být definována zcela rozdílným způsobem na zcela rozdílných lineárních prostorech. Podobně ve
vlastnosti (2) je první operace „·ÿ násobkem definovaným na L1, zatímco druhá operace „·ÿ je násobek
definovaný na L2.

Princip
superpozice

7.8. Věta (princip superpozice). Nechť L1 a L2 jsou lineární prostory. Zobrazení A : L1 → L2 je
lineární právě tehdy, když pro všechna x ∈ L1, y ∈ L1, α ∈ R, β ∈ R platí

A(α x + β y) = α A(x) + β A(y).

(7.1)

Důkaz. Nejprve předpokládejme, že pro zobrazení A : L1 → L2 platí (7.1) pro všechna x, y ∈ L1 a
α, β ∈ R. Dokážeme, že A je lineární, tj. že platí (1) a (2) z definice 7.6. Pokud zvolíme α = β = 1, plyne
z (7.1) vlastnost (1) a pokud volíme β = 0, plyne z (7.1) vlastnost (2).