Lineární algebra

Nechť nyní A : L1 → L2 je lineární. Platí

A(α x + β y)

(1)

= A(α x) + A(β y)

(2)

= α A(x) + β A(y).

Nad rovnítky jsme uvedli, kterou vlastnost jsme zrovna použili.

7.9. Poznámka. Opakovaným použitím principu superpozice (nebo formálně matematickou indukcí) lze
snadno dokázat, že A : L1 → L2 je lineární právě tehdy, když pro všechna n ∈ N, x1, x2, . . . , xn ∈ L1,
α1, α2, . . . , αn ∈ R platí

A(α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn) = α1 A(x1) + α2 A(x2) + · · · + αn A(xn).

(7.2)

67

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

7.10. Věta. Pro lineární zobrazení A : L1 → L2 platí A(o1) = o2, kde o1 je nulový vektor lineárního
prostoru L1 a o2 je nulový vektor lineárního prostoru L2.

Důkaz. Podle vlastnosti (7) definice 1.6 je o1 = 0 x, kde x ∈ L1. Podle vlastnosti (2) definice 7.6 je
A(o1) = A(0 x) = 0 A(x) = o2.

7.11. Příklad. Ověříme, zda je zobrazení A : R2 → R3, definované vzorcem

A(x1, x2) = (x1 + 2x2, −x2, 2x1 − 3x2),

lineární. Poznamenejme, že jsme v uvedeném vzorci vynechali jednu kulatou závorku, jako se to obvykle
u zobrazení definovaných na Rn dělá, tj. místo abychom psali A (x1, x2)

, píšeme stručně A(x1, x2).

Ověříme vlastnosti (1) a (2) z definice 7.6:

(1)

A (x1, x2) + (y1, y2)

 = A(x1 + y1, x2 + y2) =

= x1 + y1 + 2(x2 + y2), −(x2 + y2), 2(x1 + y1) − 3(x2 + y2)

 =

= (x1 + 2x2, −x2, 2x1 − 3x2) + (y1 + 2y2, −y2, 2y1 − 3y2) = A(x1, x2) + A(y1, y2),

(2)

A α (x1, x2)

 = A(α x1, α x2) = (α x1 + 2α x2, −α x2, 2α x1 − 3α x2) =