Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Skutečnost, že (A(C,B) | E) ∼ (A(S,B) | A(S,C)) bychom dokázali podobně.
6.32. Poznámka. Věta 6.31 nám dává návod, jak sestavit matici přechodu od báze (B) k bázi (C) v Rn.
Stačí zapsat vedle sebe vektory obou bází (jejich složky jsou psány do sloupců) a pak eliminovat tak,
abychom získali v levém poli jednotkovou matici. V pravém poli pak máme hledanou matici přechodu.
6.33. Příklad. Jsou dány uspořádané báze (B) a (C) v lineárním prostoru R4:
(B) = (1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 3, 2, 3)
,
(C) = (1, 0, 3, 3), (1, 2, 1, 1), (2, 2, 5, 4), (−2, −3, −4, −4)
.
Najdeme matice přechodu A(B,C) a A(C,B). Dále je dán vektor x ∈ R
4, x = (0, 1, 1, 0). Máme najít jeho
souřadnice vzhledem k oběma uspořádaným bázím.
Sestavíme matici vektorů obou bází podle věty 6.31 a budeme ji eliminovat „oběma směryÿ.
1 1 1 1
1 1 2 −2
1 2 1 3
0 2 2 −3
1 1 2 2
3 1 5 −4
1 1 1 3
3 1 4 −4
∼
1 1 1 1
1
1
2 −2
0 1 0 2 −1
1
0 −1
0 0 1 1
2
0
3 −2
0 0 0 1
1
0
1 −1
∼
1 0 0 0
2
0
1 −1
0 1 0 0 −3
1 −2
1
0 0 1 0
1
0
2 −1
0 0 0 1
1
0
1 −1
,
1 1 1 1
1 1 2 −2
1 2 1 3
0 2 2 −3
1 1 2 2
3 1 5 −4
1 1 1 3
3 1 4 −4
∼
1
1
1
1
1 1 2 −2
1
2
1
3
0 2 2 −3
−1 0 0
2
0 0 1 −1
1
0
1 −3
0 0 0
1
∼
1
0
0 −1
1 0 0 0
2
1
1 −2
0 1 0 0
0
0
1 −1
0 0 1 0
1
0
1 −3
0 0 0 1
.
Je tedy
A(B,C) =
2
0
1 −1
−3 1 −2
1
1
0
2 −1
1
0
1 −1
,
A(C,B) =
1
0
0 −1
2
1
1 −2
0
0
1 −1
1
0
1 −3
.
Vektor x = (0, 1, 1, 0) má podle definice 6.10 souřadnice (α, β, γ, δ) vzhledem k bázi (B), pokud platí