Lineární algebra

−u (1, 1, 3, 4, 3) + t (0, 1, 1, 2, 3) + u (0, 0, 1, 2, 0) = t (0, 1, 1, 2, 3) + u (−1, −1, −2, −2, −3).

Je tedy M ∩ N =

(0, 1, 1, 2, 3), (1, 1, 2, 2, 3) a tyto dva vektory tvoří jednu z možných bází lineárního

prostoru M ∩ N . Že průnik obsahuje vektor (0, 1, 1, 2, 3) nás nepřekvapí, protože tento vektor byl součástí
obou bází podprostorů M i N . Soustavu jsme počítali jen kvůli tomu, abychom našli ten druhý vektor.

61

Lineární algebra

6. Více o lineárních prostorech konečné dimenze

Souřadnice
vektoru

6.8. Definice. Nechť B = {b1, b2, . . . , bn} je báze lineárního prostoru L. Záleží-li nám na pořadí prvků
báze b1, b2, . . . , bn (tj. požadujeme, aby b1 byl první prvek báze, b2 druhý prvek atd.), pak mluvíme
o uspořádané bázi. Uspořádaná báze je tedy uspořádaná n-tice prvků báze, tj. (b1, b2, . . . , bn). Skutečnost,
že báze B je uspořádaná, budeme vyznačovat symbolem (B).

6.9. Poznámka. Uspořádanou bázi máme definovánu jen pro lineární prostory konečné dimenze. Ačkoli
tedy v dalším textu nebude tato skutečnost výslovně uvedena, všude tam, kde se mluví o uspořádaných
bázích, máme na mysli lineární prostor konečné dimenze.

6.10. Definice. Nechť (B) = (b1, b2, . . . , bn) je uspořádaná báze lineárního prostoru L a x ∈ L je
libovolný vektor. Uspořádanou n-tici reálných čísel (α1, α2, . . . , αn) nazýváme souřadnicemi vektoru x
vzhledem k uspořádané bázi (B), pokud platí

x = α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn.

Skutečnost, že (α1, α2, . . . , αn) jsou souřadnice vektoru x vzhledem k uspořádané bázi (B) budeme
zapisovat takto: