Lineární algebra

Protože B je bází M ∨ N a je vidět, že B má m + n − k prvků, je dim(M ∨ N ) = m + n − k.

Dokazovaná rovnost nyní plyne z toho, že platí m + n = k + (m + n − k).

60

Lineární algebra

6. Více o lineárních prostorech konečné dimenze

6.7. Příklad. Jsou dány lineární podprostory M a N lineárního prostoru R5 pomocí lineárních obalů:

M =

(1, 2, 0, 1, 1), (1, 3, 1, 3, 4), (3, 5, 2, 4, 5),

N =

(1, 1, 3, 4, 3), (1, 0, 2, 2, 0), (2, 1, 3, 2, 3), (0, 1, 2, 4, 3).

Najdeme bázi a dimenzi prostorů M , N , M ∩ N a M ∨ N .

Podle věty 3.13 zachovává Gaussova eliminační metoda lineární obal řádků matice, takže budeme

eliminovat následující matice:

M :

1 2 0 1 1
1 3 1 3 4
3 5 2 4 5

∼

1

2 0 1 1

0

1 1 2 3

0 −1 2 1 2

∼

1 2 0 1 1
0 1 1 2 3
0 0 3 3 5

,

N :

1 1 3 4 3
1 0 2 2 0
2 1 3 2 3
0 1 2 4 3

∼

1

1

3

4

3

0 −1 −1 −2 −3
0 −1 −3 −6 −3
0

1

2

4

3

∼

1 1 3 4 3
0 1 1 2 3
0 0 2 4 0
0 0 1 2 0

∼

1 1 3 4 3
0 1 1 2 3
0 0 1 2 0

.

Podle věty 3.22 jsou řádky matic zapsaných nejvíce vpravo lineárně nezávislé. Lineární obal těchto řádků
zůstal zachován a je roven M , respektive N . Máme tedy:

báze M :

(1, 2, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 2, 3), (0, 0, 3, 3, 5) ,

dim M = 3,

báze N :

(1, 1, 3, 4, 3), (0, 1, 1, 2, 3), (0, 0, 1, 2, 0) ,

dim N = 3.

Vzhledem k tomu, že tři vektory, kterými je zadán podprostor M , jsou lineárně nezávislé, můžeme zapsat
i jinou bázi M : {(1, 2, 0, 1, 1), (1, 3, 1, 3, 4), (3, 5, 2, 4, 5)}. Vektory, kterými je zadán podprostor N jsou
lineárně závislé, takže netvoří bázi.