Lineární algebra

5.30. Příklad. Při řešení soustavy

1 2 3
3 4 5
5 6 8

·

x1
x2
x3

=

10
11
12

použijeme Cramerovo pravidlo. Dostáváme:

x1 =

1

D

10

2

3

11

4

5

12

6

8

,

x2 =

1

D

1

10

3

3

11

5

5

12

8

,

x3 =

1

D

1

2

10

3

4

11

5

6

12

,

kde D =

1

2

3

3

4

5

5

6

8

.

Vypočítáním čtyř determinantů z uvedených matic typu (3,3) dostáváme výsledek

x1 =

18

−2

= −9,

x2 =

−19

−2

=

19

2

,

x3 =

0

−2

= 0,

(x1, x2, x3) =

−9,

19

2

, 0

.

5.31. Poznámka. Cramerovo pravidlo se nejeví pro výpočet řešení soustavy s regulární maticí příliš
účelné. Potřebujeme spočítat n + 1 determinantů matic typu (n, n), což je pro velká n náročnější, než
spočítat inverzní matici eliminační metodou. Výhodná může být tato metoda pouze tehdy, když nepo-
třebujeme znát všechny složky řešení, ale jen některé. Například můžeme mít nějaký fyzikální model
vyjádřený rozsáhlou soustavou lineárních rovnic, přičemž z mnoha stovek výstupních veličin (tj. složek
řešení) nás zajímá jen pár.

5.32. Příklad. Budeme řešit soustavu lineárních rovnic

x + py +

z =

1

x + 2y +

z = − 1

y + pz = − 1

Rozlišíme různé množiny řešení této soustavy podle hodnot reálného parametru p.

Determinant matice soustavy je roven D = p (2 − p), takže pro p 6= 0 a p 6= 2 je matice soustavy

regulární a soustava má jediné řešení. Například Cramerovým pravidlem zjistíme toto řešení:

x =

1

D

1

p

1

−1

2

1

−1

1

p

=

p + 1

2 − p

,

y =

1

D

1

1

1

1

−2

0

0

−1

p

=

2

p − 2

,

z =

1

D

1

p

1

1

2

−1

0

1

−1

=

1

2 − p

.

Pro p = 0 a p = 2 musíme řešit soustavu individuálně.

p = 0 :

1 0 1

1

1 2 1

−1

0 1 0 −1

∼

 1 0 1

1

0 1 0

−1

,

při z = t, vychází y = −1, x = 1 − t,
tj. (x, y, z) = (1 − t, −1, t) = (1, −1, 0) + t(−1, 0, 1),
množina řešení: M = (1, −1, 0) +