Lineární algebra

α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = o.

Protože vektory x1, x2, . . . , xn jsou lineárně nezávislé, musí αi = 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}. Tím jsme dokázali,
že i vektory A(x1), A(x2), . . . , A(xn) jsou lineárně nezávislé.

(3) ⇒ (1): Nechť x ∈ L1, y ∈ L1, x 6= y. Dokážeme, že pak A(x) 6= A(y). Vektor x − y 6= o je sám

o sobě lineárně nezávislý. Podle (3) musí být lineárně nezávislý i vektor A(x − y). Je tedy A(x − y) 6= o
a z linearity zobrazení A plyne A(x) 6= A(y).

Složené
zobrazení

7.31. Definice. Nechť A : L1 → L2 a B : L2 → L3 jsou zobrazení. Symbolem B ◦A : L1 → L3 označujeme
složené zobrazení, které je definováno předpisem (B ◦ A)(x) = B A(x)

, ∀x ∈ L1.

7.32. Věta. Nechť A : L1 → L2 a B : L2 → L3 jsou lineární zobrazení. Pak je lineární též složené
zobrazení (B ◦ A) : L1 → L3.

Důkaz. Nechť x ∈ L1, y ∈ L1, α ∈ R.

(B ◦ A)(x + y) = B A(x + y)

 = B A(x) + A(y) = B A(x) + B A(y) = (B ◦ A)(x) + (B ◦ A)(y)

(B ◦ A)(α x) = B A(α x)

 = B α A(x) = α B A(x) = α (B ◦ A)(x).

Inverzní
zobrazení

7.33. Definice. Identické zobrazení je zobrazení I : L → L, které je definováno předpisem I(x) = x.
Stručně nazýváme zobrazení I identitou. Nechť A : L1 → L2 je prosté zobrazení. Pak definujeme inverzní
zobrazení A−1 : A(L1) → L1 jako takové zobrazení, které splňuje A

−1 ◦ A = I, kde I : L

1 → L1 je

identita.

7.34. Věta. Je-li A : L1 → L2 prosté, pak existuje právě jedno inverzní zobrazení A