Lineární algebra

Zobrazení
souřadnic

7.49. Věta. Nechť (B) = (b1, b2, . . . , bn) je báze v L1, (C) = (c1, c2, . . . , cm) je báze v L2, A : L1 → L2
je lineární a A je maticí zobrazení A vzhledem k bázím (B) a (C). Pak pro každý vektor x ∈ L1,
x = (x1, x2, . . . , xn)(B), platí pro souřadnice vektoru A(x) = (y1, y2, . . . , ym)(C) následující rovnost:

A ·

x1
x2

..

.

xn

=

y1
y2

..

.

ym

.

(7.5)

74

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

Důkaz. Označme A = (ai,j), i ∈ {1, 2, . . . , m}, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Protože x = (x1, x2, . . . , xn)(B), je
podle definice 6.10 x = x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn. Pro vektor A(x) platí:

A(x) = A(x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn) = x1A(b1) + x2A(b2) + · · · + xnA(bn) =

= x1 (c1 a1,1 + c2 a2,1 + · · · + cm am,1) + x2 (c1 a1,2 + c2 a2,2 + · · · + cm am,2) + · · · +

+ · · · + xn (c1 a1,n + c2 a2,n + · · · + cm am,n) =

= c1 (a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn) + c2 (a2,1 x2 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn) + · · · +

+ · · · + cm (am,1 x2 + am,2 x2 + · · · + am,n xn) =

= y1 c1 + y2 c2 + · · · + ym cm.

Z definice 6.10 vidíme, že čísla yj jsou souřadnicemi vektoru A(x) vzhledem k bázi (C). Z poslední
rovnosti našeho výpočtu plyne, že yj = aj,1 x2 + aj,2 x2 + · · · + aj,n xn, ∀j ∈ {1, 2, . . . , m}, což ale podle
definice maticového násobení 3.34 není nic jiného, než dokazovaný vzorec (7.5).