Lineární algebra

Matice
lineárního
zobrazení

7.43. Definice. Nechť L1 a L2 jsou lineární prostory konečné dimenze, A : L1 → L2 je lineární. Nechť
(B) = (b1, b2, . . . , bn) je uspořádaná báze L1 a (C) = (c1, c2, . . . , cm) je uspořádaná báze L2. Matici A
typu (m, n), která splňuje maticovou rovnost

A(b1), A(b2), . . . , A(bn)

 = (c1, c2, . . . , cm) · A,

(7.4)

nazýváme maticí zobrazení A vzhledem k uspořádaným bázím (B) a (C). Na definiční rovnost (7.4) se
díváme jako na součin jednořádkové matice vektorů (c1, c2, . . . , cm) s maticí A reálných čísel typu (m, n),
který se má rovnat jednořádkové matici vektorů A(b1), A(b2), . . . , A(bn)

.

73

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

7.44. Věta. Nechť platí předpoklady z definice 7.43. Pak matice A zobrazení A vzhledem k bázím (B)
a (C) existuje a je určena jednoznačně.

Důkaz. Povšimneme si, že i-tý sloupec matice A obsahuje souřadnice vektoru A(bi) vzhledem k bázi (C).
To plyne přímo z definiční rovnosti (7.4) a z definice součinu matic. Máme tedy metodu, jak sestavit
matici zobrazení.

Vzhledem k tomu, že jsou souřadnice vektoru vzhledem k bázi (C) určeny jednoznačně, je i matice

A zobrazení A určena tímto zobrazením a bázemi (B) a (C) jednoznačně.

7.45. Věta. Nechť L1, L2 jsou lineární prostory konečné dimenze, (B) = (b1, b2, . . . , bn) je uspořádaná
báze L1 a (C) = (c1, c2, . . . , cm) je uspořádaná báze L2. Pak ke každé matici A typu (m, n) existuje
právě jedno lineární zobrazení A : L1 → L2 takové, že A je maticí zobrazení A vzhledem k bázím (B)
a (C).

Důkaz. Rovnost (7.4) udává hodnoty zobrazení A na prvcích báze B. Z věty 7.27 víme, že známe-li
hodnoty lineárního zobrazení na bázi, je toto lineární zobrazení určeno jednoznačně na celém definičním
oboru.