Lineární algebra

−1 : A(L

1) → L1.

Důkaz. Pro každý prvek y ∈ A(L1) existuje právě jeden prvek x ∈ L1 takový, že A(x) = y. To plyne
přímo z definice 7.5 prostého zobrazení. Definujeme A−1(y) = x. Vidíme, že A−1 ◦ A je identita.

7.35. Věta. Je-li L lineární prostor, pak identita I : L → L je lineární. Je-li A : L1 → L2 lineární a
prosté zobrazení, pak též A−1 : A(L1) → L1 je lineární.

Důkaz. Identita je zcela zřejmě lineární. Ověříme linearitu zobrazení A−1. Počítejme A−1(x + y) pro
x ∈ A(L1), y ∈ A(L1). Podle věty 7.20 je A(L1) lineární podprostor, takže x + y ∈ A(L1). Protože A
je prosté, existuje právě jeden vektor a ∈ L1 a právě jeden vektor b ∈ L1 tak, že A(a) = x, A(b) = y.
Platí tedy A−1(x) = a, A−1(y) = b. Protože A je lineární, je A(a + b) = x + y, neboli

A−1(x + y) = a + b = A−1(x) + A−1(y).

Protože A je lineární, platí pro α ∈ R, že A(α a) = α x, neboli A−1(α x) = α a = α A−1(x).

7.36. Věta. Nechť A : L1 → L2 je lineární, prosté a „naÿ L2. Pak je inverzní zobrazení A

−1 : L

2 → L1

rovněž lineární, prosté a „naÿ L1.

Důkaz. Že je A−1 definováno na celém L2 plyne z toho, že A je „naÿ L2, neboli A(L1) = L2.

Že je A−1 lineární plyne z věty 7.35.
Že je A−1 prosté plyne z toho, že je A zobrazení. Dvěma různým prvkům x ∈ L2, y ∈ L2 musejí

odpovídat různé prvky a ∈ L1 a b ∈ L1 takové, že A(a) = x, A(b) = y. Kdyby mělo platit a = b,
okamžitě vidíme, že zobrazení A nemůže splňovat A(a) = x 6= y = A(b) = A(a).