Lineární algebra

7.46. Poznámka. Předchozí dvě věty ukazují, že pokud pevně zvolíme báze (B) v L1 a (C) v L2, pak
je lineární zobrazení určeno svou maticí jednoznačně a obráceně, lineární zobrazení jednoznačně určuje
svou matici. Místo lineárních zobrazení na lineárních prostorech konečné dimenze se tak můžeme zabývat
jen maticemi těchto zobrazení bez ztráty informace.

7.47. Poznámka. Transponujeme-li definiční rovnost (7.4), dostáváme maticovou rovnost

A(b1)

..

.

A(bn)

= A

T ·

c1

..

.

cm

,

se kterou se můžeme setkat v některých učebnicích jako s definiční rovností pro matici lineárního zobra-
zení A. Všimněme si, že se zde pracuje s maticí transponovanou k matici lineárního zobrazení.

Hodnost
matice
zobrazení

7.48. Věta. Nechť (B) je báze v L1, (C) je báze v L2, A : L1 → L2 je lineární a A je maticí zobrazení A
vzhledem k bázím (B) a (C). Pak hod A = hod A.

Důkaz. Označíme-li symboly A1, A2, . . . , An jednotlivé sloupce matice A, pak platí:

hod A = dim A(L1) = dim A hBi

 = dimA(B) = dim A(b1), A(b2), . . . , A(bn) =

= dim

(c1, c2, . . . , cm) · A1, (c1, c2, . . . , cm) · A2, . . . , (c1, c2, . . . , cm) · An =

= dim hA1, A2, . . . , Ani = hod A.

V uvedené řadě rovností jsme nejprve použili definici hodnosti zobrazení 7.21, dále vlastnosti báze, dále
větu 7.14, pak jsme rozepsali množinu A(B) výčtem prvků, dále jsme využili rovnost (7.4) a konečně jsme
využili toho, že maximální počet lineárně nezávislých vektorů z množiny {A1, A2, . . . , An} (věta 3.18)
je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých vektorů ze „skoro stejnéÿ množiny, jen každý vek-
tor je násoben stejným řádkem lineárně nezávislých vektorů (c1, c2, . . . , cm). Úplně poslední rovnost je
v souladu s definicí hodnosti matice 3.15 při použití věty 3.31.