Lineární algebra

Důkaz. Nechť A je matice identity vzhledem k bázím (B) a (C). Podle (7.4) je

I(b1), I(b2), . . . , I(bn)

 = (b1, b2, . . . , bn) = (c1, c2, . . . , cn) · A.

Tato podmínka je ekvivalentní s definicí 6.18 matice přechodu od báze (C) k bázi (B).

7.57. Příklad. Zkusíme se naposledy vrátit k příkladu 7.28. V původním zadání byly dány hodnoty
zobrazení A pouze na bázi a našim úkolem bylo zjistit, jak vypadá A na celém definičním oboru. Pokusíme
se příklad vyřešit ještě jednou, tentokrát s použitím matic zobrazení vzhledem k různým bázím.

Cílem je najít matici zobrazení vzhledem ke standardním bázím. Uveďme báze, se kterými budeme

pracovat:

(B) = (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 1, 5)

,

(S0) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

,

(S) = (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)

.

Známe matici A0 zobrazení A vzhledem k bázím (B) a (S), viz (7.6) v příkladu 7.52. Nechť A(B,S

0 ) je

matice přechodu od báze (B) k bázi (S0). Podle věty 7.56 je to zároveň matice identity vzhledem k bázím
(S0) a (B). Podle věty 7.55 se matice A složeného zobrazení A ◦ I vzhledem k bázím (S0) a (S) počítá
takto:

A = A

0 · A

(B,S0).

Matice A je hledanou maticí zobrazení A vzhledem ke standardním bázím, protože A ◦ I = A. Stačí
tedy spočítat matici přechodu A(B,S

0 ) a provést uvedené maticové násobení.

Matice přechodu A(S

0 ,B)

od báze (S0) k bázi (B) obsahuje ve sloupcích přímo složky vektorů

báze (B) (viz například větu 6.30). My bohužel potřebujeme najít matici přechodu od (B) k (S0).
Budeme počítat inverzní matici, protože podle věty 6.21 je A(B,S