Lineární algebra

def A + hod A = dim L1.

Důkaz. Zvolme nějakou bázi (B) v L1 a bázi (C) v L2. Nechť A je matice zobrazení A vzhledem k bázím
(B) a (C). Podle věty 7.49 je

Ker A =

x ∈ L1; A(x) = o  =

x ∈ L1; x = (x1, x2, . . . , xn)(B)

a

A ·

x1

..

.

xn

=

0

..

.

0

.

Protože z příkladu 7.25 víme, že zobrazení, které vektoru x přiřadí jeho souřadnice, je izomorfismem,
platí

def A = dim Ker A = dim

x ∈ L1; A(x) = o  = dima ∈ Rn; A · aT = oT  .

Vidíme, že def A je roven dimenzi prostoru řešení homogenní soustavy s maticí soustavy A. Podle
věty 5.13 je tato dimenze rovna k = n − hod A, kde n je počet neznámých soustavy. Počet neznámých
je v tomto případě roven počtu prvků báze B, takže je roven dim L1.

Dostáváme výsledek def A = dim L1 − hod A = dim L1 − hod A. V poslední rovnosti jsme použili

větu 7.48.

7.54. Příklad. Je dáno lineární zobrazení A : R4 → R3 předpisem

A(x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4, x1 + 2x2 + 4x3 + 7x4, 2x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4).

Najdeme matici zobrazení A vzhledem ke standardním bázím. Dále najdeme Ker A, def A a hod A.

Podobně jako v příkladu 7.51 sestavíme matici lineárního zobrazení vzhledem ke standardním bázím

tak, že zapíšeme koeficienty lineárních kombinací čísel x1, x2, x3, x4 do řádků matice:

A =

1 2 2 3
1 2 4 7
2 4 3 4

.

Podle důkazu věty 7.53 je Ker A roven množině všech řešení homogenní soustavy Ax = o. Eliminujeme
tedy matici soustavy a najdeme všechna řešení

1 2 2 3
1 2 4 7
2 4 3 4

∼

1

2

2

3

0

0

2

4

0

0 −1 −2

∼

 1 2 2 3

0 0 1 2