Lineární algebra

Zobrazení
do stejného
prostoru

7.60. Definice. Nechť A : L → L je lineární zobrazení (lineární prostor vzorů i obrazů je stejný a má
konečnou dimenzi). Místo, abychom mluvili o matici lineárního zobrazení vzhledem ke stejným bázím (B)
a (B) (to působí, jako bychom koktali), stručně se zmiňujeme o matici zobrazení A vzhledem k bázi (B).

7.61. Věta. Nechť A : L → L je lineární zobrazení, (B), (C) jsou dvě báze lineárního prostoru L a
A(B,C) je matice přechodu od báze (B) k bázi (C). Je-li A matice zobrazení A vzhledem k bázi (B),
pak A

−1
(B,C) · A · A(B,C) je maticí téhož lineárního zobrazení vzhledem k bázi (C ).

Důkaz. A

−1
(B,C) je podle věty 6.21 maticí přechodu od (C ) k (B). Zbytek plyne z věty 7.59.

7.62. Poznámka. Protože možné matice přechodu od báze k bázi jsou právě všechny regulární matice,
můžeme na základě předchozí věty říci, že dvě matice A, B jsou maticemi stejného lineárního zobrazení
A : L → L právě tehdy, když existuje regulární matice P taková, že B = P−1 · A · P. Tyto matice se
tedy z pohledu lineárního zobrazení příliš neliší, což vystihuje následující definice:

7.63. Definice. Matice A je podobná matici B, pokud existuje regulární matice P taková, že platí
B = P−1 · A · P.

7.64. Poznámka. Je-li A podobná B, pak je i B podobná A, protože místo matice P můžeme použít
matici P−1. Stačí tedy říkat, že matice jsou si vzájemně podobné. Je-li A podobná B a B podobná C,
pak je A podobná C, protože součin regulárních matic je matice regulární a protože (PQ)−1 = Q−1P−1.
Matice je podobná sama sobě, protože E je regulární.