Lineární algebra

Vlastní číslo,
vlastní vek-
tor

7.65. Poznámka. Následující část textu o vlastních číslech jsem ke kapitole o lineárních zobrazeních
zařadil poté, co byla do osnov algebry pro první ročník zařazena zmínka o vlastních vektorech. Je to
téma docela rozsáhlé. Zde jsou uvedeny jen základní vlastnosti, takže čtenář s hlubšími zájmy o tuto
problematiku bude muset sáhnout po jiném zdroji informací, například [14].

7.66. Definice. Nechť A : L → L je lineární zobrazení. Číslo λ ∈ C se nazývá vlastním číslem zobra-
zení A, pokud existuje vektor x ∈ L, x 6= o takový, že A(x) = λ x. Vektor x, který splňuje uvedenou
rovnost, se nazývá vlastní vektor zobrazení A příslušný vlastnímu číslu λ.

7.67. Poznámka. Protože vlastní číslo může být číslo komplexní, je potřeba pracovat s modifikovanou
definicí lineárního prostoru 1.6, ve které nahradíme množinu reálných čísel množinou čísel komplexních.
Jak plyne z definice 7.66, budeme totiž nuceni při práci s vlastními čísly a vlastními vektory násobit
vlastní vektor komplexním číslem. V modelových příkladech se pokusím komplexním číslům vyhnout.

7.68. Poznámka. Pokud existuje vlastní číslo zobrazení A, pak mu přísluší více vlastních vektorů.
Přidáme-li k těmto vektorům vektor nulový, dostáváme lineární podprostor prostoru L. Skutečně, pokud
x, y splňují A(x) = λ x, A(y) = λ y, pak

A(x + y) = A(x) + A(y) = λ x + λ y = λ (x + y),

A(α x) = α A(x) = αλ x = λ (α x).

7.69. Poznámka. Pojem vlastní číslo definujeme nejenom pro lineární zobrazení, ale rovněž pro čtver-
cové matice. Záhy zjistíme, že mezi vlastním číslem zobrazení a matice je úzká souvislost.