Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Lineární algebra

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (1.16 MB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

Důkaz. Po převedení vztahu A = PDP−1 na AP = PD stačí použít větu 7.82.

7.85. Příklad. Matice z příkladu 7.76 má tři řádky a tři lineárně nezávislé vlastní vektory. Jsou tedy
splněny předpoklady věty 7.83 a matice je podobná diagonální matici. Věta 7.84 nám dává návod, jak
najít matici P a diagonální matici. Sestavíme vlastní vektory (1, 1, 0), (−1, 0, 1), (−2, 1, 4) do sloupců a
dostáváme matici P. Sestavíme v odpovídajícím pořadí vlastní čísla do diagonální matice, a dostáváme
matici D, pro kterou platí A = PDP−1. Konkrétně:

A =

5 −2

2

−1

4 −1

−4

4 −1

=

1 −1 −2
1

0

1

0

1

4

·

3 0 0
0 3 0
0 0 2

·

1 −1 −2
1

0

1

0

1

4

−1

.

7.86. Příklad. Matice z příkladu 7.77 nemá tolik lineárně nezávislých vlastních vektorů, jako je počet
jejích řádků. To znamená, že není podobná diagonální matici (kdyby byla, pak dostaneme spor s vě-
tou 7.84. Protože matice z příkladu 7.76 je podobná diagonální matici, zatímco matice z příkladu 7.77
není, nejsou si tyto matice ani vzájemně podobné.

81

Lineární algebra

7. Lineární zobrazení

7.87. Věta. Vlastní vektory, které příslušejí vzájemně různým vlastním číslům, jsou lineárně nezávislé.

Důkaz. Jeden vlastní vektor je samozřejmě lineárně nezávislý, protože je podle definice nenulový. Dále
postupujeme indukcí. Přepokládáme, že matice A má lineárně nezávislé vlastní vektory x1, . . . xk příslu-
šející různým vlastním číslům λ1, . . . , λk a přidáme do této skupiny vlastní vektor xk+1 příslušející zatím
nepoužitému vlastnímu číslu λk+1. Předpokládáme rovnost

Pk+1

i=1 αixi = o a ukážeme, že všechny koe-

ficienty αi musejí být nulové. Tím dokážeme lineární nezávislost. Rovnost transponujeme a vynásobíme
zleva maticí A − λk+1E. Dostáváme:

Témata, do kterých materiál patří