Lineární algebra

kde pruh nad komplexním číslem yx značí komplexně sdružené číslo. Některá tvrzení se tedy budou
v případě komplexního skalárního součinu nepatrně lišit od tvrzení, která níže dokážeme. Protože se
většina čtenářů tohoto textu nachází zatím v prvním semestru a nemá za sebou analýzu komplexních čísel,
zjednodušíme si život tím, že zůstaneme u reálných čísel. Pro odvození důležitých vlastností lineárních
prostorů se skalárním součinem nám to bude stačit. Zájemce o důsledky definice komplexního skalárního
součinu odkážeme například na učebnici [5].

8.6. Věta. Nechť L je lineární prostor se skalárním součinem, o je jeho nulový vektor. Pak pro všechna
x ∈ L, y ∈ L a z ∈ L platí: (1) x · o = o · x = 0, (2) z · (x + y) = zx + zy.

Důkaz. První vlastnost plyne z vlastnosti (7) definice lineárního prostoru 1.6 a z vlastnosti (3) definice
skalárního součinu 8.2. Platí (0y) · x = 0 · xy = 0

Druhá vlastnost plyne z komutativity skalárního součinu, tj. z vlastnosti (1) definice 8.2 a dále

z vlastnosti (2) této definice.

83

Lineární algebra

8. Lineární prostory se skalárním součinem

Skalární
součiny
na Rn

8.7. Příklad. Pro x ∈ Rn, y ∈ Rn, x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) definujme

x · y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.

(8.1)

Ukážeme, že takto definovaný součin vektorů x a y je skalárním součinem. Je x · y ∈ R. Nechť ještě
z ∈ Rn, z = (z1, z2, . . . , zn) a α ∈ R. Ověříme postupně vlastnosti (1) až (4):

(1)

x · y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = y1x1 + y2x2 + · · · + ynxn = y · x,