Lineární algebra

2

1 + 6x

2

2 + 4x1x2 > 0.

Nechť a = x2/x1, tj. x2 = ax1. Po dosazení je x

2

1 + 6a

2x2

1 + 4ax

2

1 = x

2

1(1 + 6a

2 + 4a). Aby byl daný výraz

větší než nula, stačí aby 6a2 + 4a + 1 > 0, ∀a ∈ R. Protože diskriminant této kvadratické nerovnice je
roven D = 16 − 24 = −8 < 0, je nerovnost 6a2 + 4a + 1 > 0 splněna pro všechna a ∈ R.

8.9. Příklad. Ukážeme, že předpis (x1, x2) ◦ (y1, y2) = x1y1 + 2x2y2 + 2x1y2 + 2x2y1 není skalárním
součinem. Vlastnosti (1) až (3) jsou zřejmě splněny. Není splněna vlastnost (4), protože například

(−1, 1) ◦ (−1, 1) = 1 + 2 − 2 − 2 = −1 6> 0.

Symetrické
a pozitivně
definitní
matice

8.10. Poznámka. Výše uvedené příklady nás vedou k otázce, jak charakterizovat všechny skalární
součiny na Rn a jak je rychle poznat. Souvisí to s tzv. pozitivně definitními a symetrickými maticemi.
Níže uvádím nejdůležitější výsledky z této oblasti jen pro čtenáře, který chce být lépe informován. Nám
ostatním bude v dalším textu stačit existence standardního skalárního součinu na Rn a povědomí, že
existují i jiné skalární součiny. Téma symetrických a pozitivně definitních matic je možno přeskočit a
věnovat se rovnou definici velikosti vektoru 8.17.

8.11. Definice. Čtvercová matice A typu (n, n) je symetrická, pokud platí AT = A.

8.12. Definice. Nechť A je čtvercová matice typu (n, n). Označme Ai čtvercovou matici typu (n−i, n−i),
která vzniká z matice A vynecháním posledních i řádků a posledních i sloupců. Matice A se nazývá
pozitivně definitní, pokud všechny determinanty det Ai, i ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} jsou kladné.