Lineární algebra

8.33. Věta. Nechť (B) je ortonormální uspořádaná báze lineárního prostoru L se skalárním součinem.
Pak pro všechna x ∈ L, y ∈ L, x = (x1, x2, . . . , xn)(B), y = (y1, y2, . . . , yn)(B) lze skalární součin počítat
ze souřadnic vektorů takto:

x · y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.

87

Lineární algebra

8. Lineární prostory se skalárním součinem

Důkaz. Podle předpokladu je x = x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn, y = y1 b1 + y2 b2 + · · · + yn bn. Počítejme
x · y:

x · y = (x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn) · (y1 b1 + y2 b2 + · · · + yn bn) =

= x1y1 b1·b1+x1y2 b1·b2+· · ·+x1yn b1·bn+x2y1 b2·b1+x2y2 b2·b2+· · ·+x2yn b2·bn+· · ·+xnyn bn·bn =

= x1y1 ·1+x1y2 ·0+· · ·+x1yn ·0+x2y1 ·0+x2y2 ·1+· · ·+x2yn ·0+· · ·+xnyn ·1 = x1y1 +x2y2 +· · ·+xnyn.

V úpravách jsme využili větu 8.32 a toho, že báze B je ortonormální.

8.34. Příklad. Nechť Rn je lineární prostor se standardním skalárním součinem zavedeným v pří-
kladu 8.7. Pak standardní báze

S =

(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1) 

je ortonormální bází.

8.35. Věta. Nechť x1, x2, . . . , xn jsou nenulové vektory lineárního prostoru se skalárním součinem, které
jsou na sebe navzájem kolmé, tj. xi · xj = 0 pro i 6= j a xi · xi > 0. Pak jsou tyto vektory lineárně
nezávislé.

Důkaz. Podle definice lineární nezávislosti stačí ověřit, že z rovnosti

α1 · x1 + α2 · x2 + · · · + αn · xn = o

nutně plyne, že všechna čísla čísla αi jsou nulová. Vynásobíme-li obě strany uvedené rovnosti skalárně
vektorem xi, dostáváme na levé straně součet nul s výjimkou jediného sčítance, protože vektor xi je
kolmý na všechny všechny ostatní vektory xj. Máme tedy