Lineární algebra

hc1, c2, . . . , ck, ck+1i = hc1, c2, . . . , ck, bk+1i = hb1, b2, . . . , bk+1i.

Tím jsme rozšířili naši novou postupně budovanou ortonormální bázi o další vektor. Opakovaným pou-
žitím tohoto postupu dostáváme hledanou ortonormální bázi {c1, c2, . . . , cn}.

Nyní stačí jen podrobněji ukázat, jak se vektor „normalizujeÿ a „ortogonalizujeÿ. Normalizaci libo-

volného vektoru x provedeme tak, že položíme x0 = (1/kxk) · x. Skutečně je:

kx0k2 = x0 · x0 =

1

kxk

x ·

1

kxk

x =

1

kxk2

x x =

1

kxk2

kxk2 = 1.

Nechť bk+1 6∈ hc1, c2, . . . , cki a nechť vektory c1, c2, . . . , ck jsou na sebe navzájem kolmé a mají jednot-
kovou velikost. Vektor bk+1 „ortogonalizujemeÿ tak, že položíme

b

0
k+1 = bk+1 −

k

X

i=1

(bk+1 · ci) ci.

Nově vytvořený vektor b0

k+1 je kolmý na všechny vektory c1, c2, . . . , ck , protože:

b

0
k+1 · cj =

bk+1 −

k

X

i=1

(bk+1 · ci) ci

!

· cj = bk+1 · cj −

k

X

i=1

(bk+1 · ci) (ci · cj) = bk+1 · cj − bk+1 · cj = 0.

V uvedeném součtu jsou ostatní sčítanci nuloví, protože vektory c1, c2, . . . , ck jsou podle předpokladu
na sebe navzájem kolmé.

89

9. Aplikace lineární algebry v geometrii

Euklidovský
prostor

9.1. Poznámka. Budeme pracovat s bodovým euklidovským prostorem. Bohužel nemáme zde místo
na podrobné definování základních pojmů tohoto prostoru. Vycházíme tedy z toho, že čtenář intuitivně
tuší, co to je bod, úsečku si představí jako nejkratší spojnici mezi dvěma body, nebo jako množinu bodů,
která tuto spojnici vyplňuje. Jiné množiny bodů vytvářejí přímky nebo roviny. Všechny tyto množiny
bodů jsou podmnožinami třírozměrného bodového euklidovského prostoru, označovaného obvykle E3.
Jeho „třírozměrnostÿ vyplývá z toho, že jsme schopni v tomto prostoru sestrojit maximálně tři na sebe
navzájem kolmé přímky. Rovněž to souvisí s tím, že lineární prostory orientovaných úseček v E3 mají
dimenzi rovnu třem. V bodovém prostoru E3 umíme měřit vzdálenost mezi libovolnými dvěma body a
úhel mezi dvěma úsečkami, které mají společný jeden krajní bod. Předpokládáme tedy, že jsme vybaveni
nějakým měřítkem a úhloměrem. Stupnice na našem měřítku vychází z nějaké jednotky vzdálenosti (metr,
stopa aj.) a nebudeme tuto jednotku při popisování geometrických vlastností dále zmiňovat.