Lineární algebra

existuje právě jedna lineární kombinace vektorů b1, b2, b3, která je rovna vektoru u. Koeficienty této
lineární kombinace jsou podle definice 6.10 souřadnicemi vektoru u vzhledem k uspořádané bázi (B).
Tyto souřadnice tvoří uspořádanou trojici reálných čísel a zobrazení, které každému vektoru u ∈ UO
přiřadí uspořádanou trojici jeho souřadnic z R3 je podle příkladu 7.25 izomorfismus. Toto zobrazení
přenáší pojmy lineární závislost, podprostor a lineární obal z „geometrickéhoÿ lineárního prostoru UO
na „numerickýÿ lineární prostor R3. Jinými slovy, místo abychom zjišťovali tyto pojmy na lineárním
prostoru UO, kde sčítání je definováno doplňováním na rovnoběžník (potřebujeme dvě pravítka resp.
kružítko na konstruování rovnoběžníků), budeme je ověřovat jen numericky v R3 (vystačíme si se sčítáním
a násobením reálných čísel). To je základním principem tzv. analytické geometrie. Tuto teorii rozpracoval
v 17. století francouzský matematik René Descartes. Po něm se nazývá souřadnicový systém kartézský.

Skalární
součin ori-
entovaných
úseček

9.3. Příklad. Na lineárním prostoru UO nyní definujeme skalární součin. Nechť u a v jsou dvě oriento-
vané úsečky začínající v bodě O. Pokud je aspoň jedna z nich nulová, definujeme skalární součin u·v = 0.
Jsou-li obě úsečky nenulové, pak existuje rovina %, ve které leží společně obě úsečky. Přiložíme v této ro-
vině úhloměr k daným úsečkám a změříme úhel ϕ mezi těmito úsečkami. Skalární součin pak definujeme
vzorcem

u · v = kuk kvk cos ϕ,

(9.1)

kde kuk a kvk jsou velikosti těchto úseček zjištěné měřítkem.

Ukážeme, že uvedený vzorec definuje skalární součin v souladu s obecnou definicí 8.2, tj. že platí

vlastnosti (1) až (4).