Skalární součin
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
4. Pro kaˇzd´e dva vektory a, b plat´ı |a · b| ≤ kakkbk
5. Pro kaˇzd´y vektor a plat´ı a · a ≥ 0, pˇritom a · a = 0 pouze pro nulov´y vektor.
6. Pro kaˇzd´e dva vektory a, b plat´ı a · b = b · a
7. Pro kaˇzd´e dva vektory a, b a pro kaˇzd´e ˇc´ıslo α ∈ R plat´ı a · (αb) = α(a · b)
8. Pro kaˇzd´e tˇri vektory a, b, c plat´ı a · (b + c) = a · b + a · c
D˚
ukazy a koment´aˇre – (a) pro geometrickou definici (1), (b) pro souˇradnicovou definici
(5).
1. (a) Nech´ame ˇcten´aˇri na rozmyˇslenou. Uvˇedomte si, ˇze vektor sv´ır´a s´am se sebou
nulov´y ´
uhel a ˇze cos 0 = 1.
(b) Dosad’te b = a do (5) a porovnejte s (6).
2. (b) Uvˇedomte si, ˇze druh´a mocnina re´aln´eho ˇc´ısla nem˚
uˇze b´yt z´aporn´a a pro kter´e
ˇc´ıslo je nulov´a.
3. Nerovnost ka + bk ≤ kak + kbk naz´yv´ame troj´
uheln´ıkovou nerovnost´ı.
Proˇc, to by mˇelo b´yt patrn´e z n´asleduj´ıc´ıho obr´azku,
na kter´em jsou zobrazeny vektory a, b a jejich souˇcet.
Tvoˇr´ı-li vektory a, b spolu se sv´ym souˇctem troj´
uheln´ık,
je nerovnost ostr´a. Rovnost nastane, maj´ı-li vektory a,
b stejn´y smˇer a orientaci. Jak je to v pˇr´ıpadˇe, ˇze maj´ı
stejn´y smˇer a opaˇcnou orientaci?
Troj´
uheln´ıkov´a nerovnost pro (5) znamen´a
q
(a1 + b1)2 + (a2 + b2)2 + (a3 + b3)2 ≤
q
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
+
q
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
(7)
D˚
ukaz t´eto nerovnosti pro libovolnou ˇsestici ˇc´ısel a1, a2, a3, b1, b2, b3 provedeme v
n´asleduj´ıc´ı kapitole.
4. Pro (1) plyne z (4) a z oboru hodnot funkce kosinus. D˚
ukaz pro (5) provedeme v
n´asleduj´ıc´ı kapitole.
5. Pro tento bod plat´ı tot´eˇz jako pro bod 1.