Skalární součin
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2
2 + a
2
3 )
a proto
|a1b1 + a2b2 + a3b3| ≤
q
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
q
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
(Posledn´ı ´
uvaha je hodna rozmyˇslen´ı.)
Protoˇze libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo nem˚
uˇze b´yt vˇetˇs´ı neˇz jeho absolutn´ı hodnota, je
a1b1 + a2b2 + a3b3 ≤ |a1b1 + a2b2 + a3b3|
a tedy i
a1b1 + a2b2 + a3b3 ≤
q
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
q
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
Vyn´asoben´ım dvˇema a pˇriˇcten´ım stejn´eho v´yrazu k obˇema stran´am nerovnice dostaneme
(a
2
1 +a
2
2+a
2
3 +b
2
1+b
2
2 +b
2
3 )+2(a1b1 +a2 b2 +a3b3 )
≤ (a
2
1+a
2
2 +a
2
3+b
2
1 +b
2
2 +b
2
3 )+2
q
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
q
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
Uprav´ıme kaˇzdou ze stran nerovnice
(a1 + b1)
2 + (a
2
+ b2)
2 + (a
3
+ b3)
2 ≤
q
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
+
q
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
2
odtud (podle stejn´e ´
uvahy v´yˇse oznaˇcen´e k rozmyˇslen´ı)
q
(a1 + b1)2 + (a2 + b2)2 + (a3 + b3)2 ≤
q
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
+
q
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
a to je troj´
uheln´ıkov´a nerovnost.
1.3
Kolm´
e a jednotkov´
e vektory, ortogon´
aln´ı a ortonorm´
aln´ı
baze
Na obr´azku je zn´azornˇen vektor a a vektor
a0 stejn´eho smˇeru a orientace jako vektor a
o velikosti rovn´e ka0k = 1.
Vektor a0 je s vektorem a sv´az´an vztahem
a0 =
a
kak
Vektor, jehoˇz velikost je rovna jedn´e, naz´yv´ame jednotkov´
ym vektorem.
Napˇr´ıklad vektory a0 =
a
kak a b
0
= −
a
kak jsou jednotkov´
e vektory. (Jednotkov´e vektory
ˇcasto oznaˇcujeme doln´ım indexem 0.)
Bazi vektorov´eho prostoru nazveme ortogon´
aln´ı, pokud jsou bazov´e vektory vz´ajemnˇe
kolm´e. Napˇr´ıklad vektory
a1 = (1, 0, 2),
a2 = (2, 2, −1), a3 = (4, −5, −2)
tvoˇr´ı ortogon´aln´ı bazi. Pokud jsou vektory baze nav´ıc jednotkov´e, naz´yv´ame ji orto-
norm´
aln´ı baz´ı. Z ortogon´aln´ı baze A = {a1, a2, a3} snadno vyrob´ıme ortonorn´aln´ı bazi
b1 = a1/ka1k = (1, 0, 2)/
√