Skalární součin

Souˇradnice vektoru, se kter´ymi jsme aˇz doposud pracovali, budeme naz´yvat kontravari-
antn´ımi souˇ

radnicemi a budeme je oznaˇcovat horn´ım indexem, napˇr. v = v

1a1 +v2a2 +

· · · + v

nan. Kovariantn´ımi souˇradnicemi vektoru v vzhledem k bazi A = {a1, . . . , an}

budeme naz´yvat aritmetick´y vektor Av = (hv, a1i, hv, a2i, . . . , hv, ani)

T . Jeho sloˇzky bu-

deme oznaˇcovat doln´ım indexem vi = hv, aii. V dalˇs´ım uk´aˇzeme, ˇze

1. Z kontravariantn´ıch souˇradnic je moˇzno vypoˇc´ıtat kovariantn´ı pomoc´ı vztahu

vi = hai, a1iv

1 + hai, a2iv2 + · · · + hai, aniv

n

(10)

Matice skal´arn´ıch souˇcin˚

u vektor˚

u baze

GA =

ha1, a1i ha1, a2i . . . ha1, ani
ha2, a1i ha2, a2i . . . ha2, ani

...

...

. ..

...

han, a1i han, a2i . . . han, ani

se naz´yv´a metrick´

y tenzor. Vztah (10) mezi kontravariantn´ımi a kovariantn´ımi

souˇradnicemi vektoru pak m˚

uˇzeme zapsat maticovˇe

v1
v2

...

vn

=

ha1, a1i ha1, a2i . . . ha1, ani
ha2, a1i ha2, a2i . . . ha2, ani

...

...

. ..

...

han, a1i han, a2i . . . han, ani

v

1

v

2

...

vn

nebo taky

Av = GA

Av

(11)

2. Skal´arn´ı souˇcin dvou vektor˚

u a, b m˚

uˇzeme vypoˇc´ıtat pomoc´ı kontravariantn´ıch

souˇradnic ai jednoho vektoru a kovariantn´ıch souˇradnic bj druh´eho

ha, bi = a

1 b

1

+ a

2 b

2

+ · · · + a

nb

n

(12)

Platnost (10) uk´aˇzeme dosazen´ım do vztahu vi = hv, aii. Odvozen´ı udˇel´ame pro jednodu-
chost pouze pro pˇr´ıpad dimenze n = 3.

vi = hv, aii = (dosad´ıme za v) = hv

1a

1

+ v

2a

2

+ v

3a

3

, aii =

(pouˇzijeme aditivitu) = hv

1a

1

, aii + hv

2a

2

, aii + hv

3a

3

, aii =

(pouˇzijeme homogenitu) = v

1ha1, aii + v2ha2, aii + v3ha3, aii =

(pouˇzijeme symetrii) = v

1hai, a1i + v2hai, a2i + v3hai, a3i