Skalární součin

Z 1

0

1 dx = 1

ha0, a1i =

Z

1

0

a0(x)a1(x) dx =

Z 1

0

x dx = 1/2

...

ha1, a2i =

Z

1

0

a1(x)a2(x) dx =

Z 1

0

x

3 dx = 1/4

...

ha2, a2i =

Z

1

0

a2(x)a2(x) dx =

Z 1

0

x

4 dx = 1/5

a vytvoˇr´ıme matici

GA =

ha0, a0i ha0, a1i ha0, a2i
ha1, a0i ha1, a1i ha1, a2i
ha2, a0i ha2, a1i ha2, a2i


 =

1

1/2 1/3

1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5

Vid´ıme, ˇze baze A nen´ı ani ortonorm´aln´ı ani ortogon´aln´ı - srovnej s kapitolou 2.2. Chceme
pouˇz´ıt nˇekter´y ze vztah˚

u (15), (16) a k tomu potˇrebujeme ortogon´aln´ı bazi. Vytvoˇr´ıme ji

z baze A n´asledovnˇe

f0 = a0,

f1 = a1 + αf0,

f2 = a2 + βf0 + γf1

(18)

kde koeficienty (ˇc´ısla) α, β, γ vypoˇcteme z podm´ınek ortogonality (v´ypoˇcet viz d´ale)

hf0, f1i = hf0, f2i = hf1, f2i = 0

Z ortogon´aln´ı baze F = {f0, f1, f2} z´ısk´ame ortonorm´aln´ı bazi E = {e0, e1, e2}

ei = fi/kfik,

pro i = 0, 1, 2

(19)

Nyn´ı odvod´ıme vztahy pro koeficienty α, β, γ. Dosad´ıme-li za f1 z (18), dostaneme

hf0, f1i = hf0, a1 + αf0i = (pouˇzijeme linearitu) = hf0, a1i + αhf0, f0i

Z podm´ınky hf0, f1i = 0 (vektory ortonorm´aln´ı baze jsou kolm´e) dostaneme

hf0, a1i + αhf0, f0i = 0

a tedy

α = −hf0, a1i/hf0, f0i

(20)

Podobnˇe odvod´ıme

β = −hf0, a2i/hf0, f0i

(21)

γ = −hf1, a2i/hf1, f1i

(22)

Vid´ıme, ˇze k v´ypoˇctu ˇc´ısel α, β, γ potˇrebujeme spoˇc´ıtat celkem 5 skal´arn´ıch souˇcin˚

u. Tˇri

z nich m˚

uˇzeme bezprostˇrednˇe urˇcit z matice GA.

hf0, a1i = ha0, a1i = 1/2

hf0, f0i = ha0, a0i = 1

hf0, a2i = ha0, a2i = 1/3

odtud je

α = −1/2,

f1 = a1 − 1/2a0,

β = −1/3

Na v´ypoˇcet zbyl´ych dvou pouˇzijeme vztah (13), prvky matice GA jiˇz m´ame spoˇc´ıt´any,
souˇradnice uvaˇzovan´ych funkc´ı vzhledem k bazi A jsou