Skalární součin
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Ukaˇzme jeˇstˇe platnost (12).
hb, ci = (dosad´ıme za b) = hb
1 a
1
+ b
2 a
2
+ b
3 a
3
, ci =
(pouˇzijeme aditivitu) = hb
1 a
1
, ci + hb
2 a
2
, ci + hb
3 a
3
, ci =
(pouˇzijeme homogenitu) = b
1 ha1, ci + b2ha2, ci + b3ha3, ci =
(nahrad´ıme skal´arn´ı souˇciny kovariantn´ımi souˇradnicemi) = b
1 c
1
+ b
2 c
2
+ b
3 c
3
Vztahy (11), (12) d´avaj´ı
ha, bi =
Aa
T
GA
Ab
(13)
2.2
Metrika pro ortogon´
aln´ı a ortonorm´
aln´ı bazi
Je-li baze A = {a1, . . . , an} ortogon´aln´ı, plat´ı pro i 6= j hai, aji = 0 (krit´erium kolmosti).
Metrika (matice skal´arn´ıch souˇcin˚
u vektor˚
u baze) je potom rovna
GA =
ha1, a1i
0
. . .
0
0
ha2, a2i . . .
0
...
...
. ..
...
0
0
. . . han, ani
Pro ortonorm´aln´ı bazi je nav´ıc hai, aii = 1 (vektory baze jsou jednotkov´e). Matice GA
je tedy jednotkovou matic´ı. Pro kovariantn´ı a kontravariantn´ı souˇradnice vzhledem k
ortonorm´aln´ı bazi tedy plat´ı
v1
v2
..
.
vn
=
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
... ... ... ...
0 0 . . . 1
v
1
v
2
...
vn
=
v
1
v
2
...
vn
nebo-li
Av =
Av
(14)
Ve vztahu (12) pak m˚
uˇzeme zamˇenit kovariantn´ı a kontravariantn´ı souˇradnice a (12) je
identick´y se vztahem (5) platn´ym v kart´ezsk´ych souˇradnic´ıch.
3
Ortogon´
aln´ı projekce jako nejlepˇs´ı aproximace
v
p
Na obr´azku je zn´azornˇen vektor v a jeho
kolm´a projekce p na rovinu vyznaˇcenou
rovnobˇeˇzn´ıkem. Zd˚
uraznˇeme jednu vlastnost
kolm´e projekce vektoru: kv − pk je rovno
vzd´alenosti koncov´eho bodu vektoru v od ro-
viny (na kterou prom´ıt´ame) a pro libovoln´y
vektor q 6= p leˇz´ıc´ı v uvaˇzovan´e rovinˇe je
kv − qk > kv − pk.
v
p
q
Na dalˇs´ım obr´azku je pˇrid´an vektor q a
ˇc´arkovanˇe vyznaˇcen vektor v − q. Nezd´a-
li se v´am, ˇze plat´ı kv − qk > kv − pk,
uvˇedomte si, ˇze ˇcervenˇe ˇc´arkovan´a ´