Skalární součin
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
6. Nech´ame ˇcten´aˇri na rozmyˇslenou.
7. (a) Vypl´yv´a z toho, ˇze kolm´y pr˚
umˇet je homogenn´ı zobrazen´ı.
(b) Pro souˇcin (5) je
a · (αb) = a1(αb1) + a2(αb2) + a3(αb3)
a
α(a · b) = α(a1b1 + a2b2 + a3b3)
Snad ˇcten´aˇr vid´ı, ˇze se tyto v´yrazy rovnaj´ı.
8. (a) Vypl´yv´a z (2), (3) a z toho, ˇze kolm´y pr˚
umˇet je aditivn´ı zobrazen´ı.
(b) Podobnˇe pro (5) je
a · (b + c) = a1(b1 + c1) + a2(b2 + c2) + a3(b3 + c3)
a
a · b + a · c = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a1c1 + a2c2 + a3c3
a v´yrazy na prav´ych stran´ach se rovnaj´ı.
Platnost 7. a 8. pro skal´arn´ı souˇcin (1) plyne z toho, ˇze kolm´y pr˚
umˇet je line´arn´ı zobrazen´ı.
1.2
D˚
ukaz Cauchy - Schwarzovy a troj´
uheln´ıkov´
e nerovnosti
Nerovnost
|a · b| ≤ kakkbk
kter´a pro skal´arn´ı souˇcin (5) m´a tvar
|a1b1 + a2b2 + a3b3| ≤
q
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
q
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
naz´yv´ame Cauchy - Schwarzovou nerovnost´ı. Provedeme jej´ı d˚
ukaz. Jsou-li a1, . . . , b3
pevnˇe zvolen´a (ale libovoln´a) re´aln´a ˇc´ısla, je pro kaˇzd´e t ∈ R splnˇena nerovnost
(a1 + t b1)
2 + (a
2
+ t b2)
2 + (a
3
+ t b3)
2 ≥ 0
Po ´
upravˇe dostaneme kvadratickou nerovnici promˇenn´e t
t
2(b2
1 + b
2
2 + b
2
3 ) + 2t(a1 b1 + a2 b2 + a3b3 ) + (a
2
1 + a
2
2 + a
2
3 )
≥ 0
Jsou-li ˇreˇsen´ım kvadratick´e nerovnice vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla, nem˚
uˇze m´ıt pˇr´ısluˇsn´a kva-
dratick´a rovnice dva r˚
uzn´e re´aln´e koˇreny (kreslete graf!), a proto pro jej´ı diskriminant
plat´ı
D ≤ 0
tj.
4(a1b1 + a2b2 + a3b3)
2 − 4(b2
1 + b
2
2 + b
2
3)(a
2
1 + a
2
2 + a
2
3 )
≤ 0
Odtud
(a1b1 + a2b2 + a3b3)
2 ≤ (b2
1 + b
2
2 + b
2
3 )(a
2
1 + a