Skalární součin

3. Pro kaˇzd´e tˇri vektory a, b, c plat´ı ha, b + ci = ha, bi + ha, ci (aditivita).

4. Pro kaˇzd´e dva vektory a, b a kaˇzd´e re´aln´e ˇc´ıslo α plat´ı ha, αbi = αha, bi (homoge-

nita).

naz´yv´ame skal´arn´ım souˇcinem na vektorov´em prostoru V .

V dalˇs´ım textu zavedeme skal´arn´ı souˇcin na prostoru polynom˚

u

hP, Qi =

Z

b

a

P (x)Q(x) dx

(9)

Pˇritom a < b jsou pevnˇe zvolen´a (tj. nez´avisl´a na konkr´etn´ı volbˇe funkc´ı P , Q) re´aln´a

ˇc´ısla. Uk´aˇzeme, ˇze (9) splˇ

nuje 1 – 4.

1. hP, P i =

R

b

a (P (x))

2 dx ≥ 0, plyne z vlastnost´ı integr´al˚

u (integr´al nez´aporn´e funkce

je nez´aporn´y).
Zaj´ımavˇejˇs´ı je ot´azka kladnosti integr´alu

R

b

a (f (x))

2 dx pro nenulovou funkci f . Ne-

nulov´a funkce f m´a nenulovou funkˇcn´ı hodnotu v alespoˇ

n jednom bodˇe sv´eho de-

finiˇcn´ıho oboru. Na obr´azc´ıch vid´ıte grafy dvou nenulov´ych funkc´ı, pro kter´e je
integr´al

R

b

a (f (x))

2 dx = 0.

a

b

a

b

Pro polynom vˇsak ˇz´adn´a z tˇechto dvou situac´ı nem˚

uˇze nastat. Modr´a funkce je na

rozd´ıl od polynom˚

u nespojit´a. ˇ

Cerven´a funkce m´a pro zmˇenu koˇreny (tj. body s nu-

lovou funkˇcn´ı hodnotou) ve vˇsech bodech intervalu ha, bi, zat´ımco kaˇzd´y nenulov´y
polynom m´a pouze koneˇcnˇe mnoho koˇren˚

u (pˇripomeˇ

nme, ˇze jejich poˇcet je nejv´yˇse

roven stupni polynomu).

2. Platnost

R

b

a P (x)Q(x) dx =

R

b

a Q(x)P (x) dx je zˇ

rejm´a.

3. Plyne z aditivity integr´alu vzhledem k integrovan´e funkci

R

b

a P (x) (Q1(x) + Q2(x)) dx =

R

b

a P (x)Q1(x) + P (x)Q2(x) dx =

R

b

a P (x)Q1(x) dx +

R

b

a P (x)Q2(x) dx

4. Plyne z

R

b

a P (x)αQ(x) dx = α

R

b

a P (x)Q(x) dx

2.1

Metrika, kovariantn´ı a kontravariantn´ı souˇ

radnice vektoru