Skalární součin
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
5 = (
√
5/5, 0, 2
√
5/5)
b2 = a2/ka2k = (2, 2, −1)/3 = (2/3, 2/3, −1/3)
b3 = a3/ka3k = (4, −5, −2)/
√
45 = (4
√
5/15, −
√
5/3, −2
√
5/15)
1.4
D´
avaj´ı oba skal´
arn´ı souˇ
ciny stejn´
y v´
ysledek?
V t´eto kapitole uk´aˇzeme, ˇze oba vzorce pro v´ypoˇcet skal´arn´ıho souˇcinu - geometrick´y (1)
a souˇradnicov´y (5) d´avaj´ı pro zadanou dvojici vektor˚
u stejn´y v´ysledek. D´ale uk´aˇzeme, ˇze
m´ame-li zadan´y skal´arn´ı souˇcin pro bazov´e vektory a utvoˇr´ıme z nich matici
G =
a1 · a1 a1 · a2 . . . a1 · an
a2 · a1 a2 · a2 . . . a2 · an
...
...
. ..
...
an · a1 an · a2 . . . an · an
,
je moˇzn´e spoˇc´ıtat skal´arn´ı souˇcin libovoln´e dvojice vektor˚
u b, c pomoc´ı jejich souˇradnic
Ab, Ac
b · c =
Ab
T
G Ac
(8)
Vztah (8) odvod´ıme jako d˚
usledek vlastnost´ı uveden´ych v kapitole 1.1, plat´ı tedy pro oba
skal´arn´ı souˇciny. Zd˚
uraznˇeme d´ale, ˇze (8) mimo jin´e znamen´a, ˇze skal´arn´ı souˇcin na pro-
storu V coby zobrazen´ı V × V do R je plnˇe urˇcen sv´ymi hodnotami pro bazov´e vektory.
Uk´aˇzeme-li tedy, ˇze oba skal´arn´ı souˇciny (geometrick´y a souˇradnicov´y) d´avaj´ı pro vektory
baze stejn´e v´ysledky, plyne odtud, ˇze d´avaj´ı stejn´e v´ysledky pro libovolnou dvojici vektor˚
u.
Ukaˇzme platnost (8) pro prostor dimenze 3. Je-li
b = b
1 a
1
+ b
2 a
2
+ b
3 a
3
a
c = c
1a
1
+ c
2 a
2
+ c
3a
3
je
b · c = (b
1 a
1
+ b
2 a
2
+ b
3 a
3
) · (c
1a
1
+ c
2a
2
+ c
3a
3
)
pouˇzijeme vlastnost 8 z kapitoly 1.1
= (b
1 a
1
+ b
2 a
2
+ b
3 a
3
) · (c
1a
1
) + (b
1 a
1
+ b
2 a
2
+ b
3 a
3
) · (c
2a
2
) + (b
1 a
1
+ b
2 a
2
+ b
3 a
3
) · (c
3a
3
)
vlastnost 6 spolu s 8 umoˇzˇ
nuje rozn´asobit i prvn´ı vektor