Skalární součin

useˇcka

je kolm´a na pr˚

umˇetnu a je tedy odvˇesnou

ve vyˇsrafovan´em troj´

uheln´ıku. Ve stejn´em

troj´

uheln´ıku je modr´a ˇc´arkovan´a ´

useˇcka

pˇreponou.

Jak m˚

uˇzeme vyj´adˇrit projekci p vektoru

v, m´ame-li ortonorm´aln´ı bazi sloˇzenou ze
dvou vektor˚

u e1, e2 leˇz´ıc´ıch v pr˚

umˇetnˇe a

norm´alov´eho vektoru e3?
Souˇradnice vektoru v vzhledem k bazi E =
{e1, e2, e3} jsou, jak plyne z (1) i z (14)
he1, vi, he2, vi, he3, vi, a tedy

v = he1, vie1 + he2, vie2 + he3, vie3

a

p = he1, vie1 + he2, vie2

Nyn´ı si m´ısto roviny pˇredstavme prostor Pk polynom˚

u stupnˇe nejv´yˇse k a na m´ıstˇe vek-

toru v funkci g (definovanou na intervalu h0, 1i). Budeme hledat polynom P ∈ Pk pro
nˇejˇz je integr´al

Z 1

0

(g(x) − P (x))

2 dx

minim´aln´ı.
Nejlepˇs´ı aproximace funkce g na intervalu h0, 1i polynomem 2. stupnˇe je

hg, e0ie0 + hg, e1ie1 + hg, e2ie2

(15)

pokud polynomy e1, e2, e3 tvoˇr´ı ortonorm´aln´ı bazi vzhledem ke skal´arn´ımu souˇcinu hp, qi =

R 1

0 p(x)q(x) dx. Tvoˇ

r´ı-li polynomy f1, f2, f3 bazi ortogon´aln´ı, je

hg, f0i

hf0, f0i

f0 +

hg, f1i

hf1, f1i

f1 +

hg, f2i

hf2, f2i

f2

(16)

3.1

Vytvoˇ

ren´ı ortogon´

aln´ı baze (Gramm – Schmidt˚

uv algorit-

mus)

Na prostoru polynom˚

u stupnˇe druh´eho a menˇs´ıho definujeme skal´arn´ı souˇcin.

hP, Qi =

Z 1

0

P (x)Q(x) dx

(17)

(V kapitole 2 jsme uk´azali ˇze je to opravdu skal´arn´ı souˇcin – tj. ˇze splˇ

nuje vlastnosti 1. –

4. z t´eto kapitoly.)
Zjist´ıme, zda je kanonick´a baze A = {a0, a1, a2}, kde ai : x 7→ x

i pro i = 0, 1, 2, na

prostoru se skal´arn´ım souˇcinem (17) ortonorm´aln´ı pˇr´ıpadnˇe alespoˇ

n ortogon´aln´ı. Za t´ım

´

uˇcelem vypoˇcteme skal´arn´ı souˇciny

ha0, a0i =

Z

1

0

a0(x)a0(x) dx =