Skalární součin
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Aa
2
=
0
0
1
Af
1
= A (a1 + αf0) =
α
1
0
a postupnˇe poˇc´ıt´ame (pouˇz´ıv´ame pˇritom (13))
hf1, a2i =
Af
1
T
GA
Aa
2
= ( −1/2 1 0 )
1
1/2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
0
1
0
=
−1/4+1/3 = 1/12
hf1, f1i = ( −1/2 1 0 )
1
1/2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
−1/2
1
0
=
−1/2(−1/2+1/2)+1(−1/4+1/3) = 1/12
Odtude je
γ = −1
a
f2 = a2 − 1/3f0 − f1 = (po dosazen´ı) = a2 − 1/3a0 − (a1 − 1/2a0) = a2 − a1 + a0/6
Jeˇstˇe budeme potˇrebovat
hf2, f2i = ( 1/6 −1 1 )
1
1/2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
1/6
−1
1
=
1/6(1/6 − 1/2 + 1/3) − 1(1/12 − 1/3 + 1/4) + 1(1/18 − 1/4 + 1/5) = 1/180
Hledan´a ortogon´aln´ı baze tedy je
f0 : x → 1, f1 : x → x − 1/2, f2 : x → x
2 − x + 1/6
(23)
Normy funkc´ı f0,. . . ,f2 jsou
kf0k = 1, kf1k = 1/
√
12,
kf2k = 1/
√
180
(24)
a tedy ortonorm´aln´ı baze je
e0 : x → 1, e1 : x →
√
3 (2x − 1), e2 : x →
√
5 (6x
2 − 6x + 1)
(25)
3.2
Aproximace exponenci´
aln´ı funkce
Budeme aproximovat funkci exp : x 7→ e
x, proto vypoˇcteme skal´arn´ı souˇciny (integr´aly)
ha0, expi =
Z 1
0
e
x dx = [ex]
1
0 = e
− 1
ha1, expi =
Z 1
0
xe
x dx = [xex]
1
0
−
Z 1
0
e
x dx = e − (e − 1) = 1
ha2, expi =
Z 1
0
x
2 ex dx =
h
x
2 ex
i1
0 −
2
Z 1
0
xe
x dx = e − 2
Zmiˇ
novanou nejlepˇs´ı aproximaci p z´ısk´ame dosazen´ım bud’ (23) a (24) do (16) nebo (25)
do (15)
p(x) = (e − 1) + 12 [1 − 1/2(e − 1)] (x − 1/2) + 180 [(e − 1)/6 − 1 + e − 2] (1/6 − x + x
2 )
Postupnou ´
upravou - nejdˇr´ıve rozn´asoben´ım a pot´e sdruˇzen´ım ˇclen˚
u se stejnou mocninou
x dostaneme
p(x) = 30(7e − 19)x