ULA

A · X

T = kXT ,

X

T =

x1

..

.

xn

6=

0

..

.

0

pro neznámé x1, . . . , xn, k. Přepišme tuto rovnici takto:

A · XT − kEXT = OT ,

(OT je nulová matice typu (n, 1).)

(A − kE)XT = OT ,

(E je jednotková matice typu (n, n).)

Rozepsáním do souřadnic dostáváme (pro pevné k) soustavu lineárních rovnic

(a11 − k)x1 +

a12x2 + . . . +

a1nxn = 0,

a21x1 + (a22 − k)x2 + . . . +

a2nxn = 0,

..

.

..

.

an1x1 +

an2x2 + . . . + (ann − k)xn = 0,

(32)

pro neznámé x1, . . . , xn.
Hledáme netriviální řešení této soustavy. Takové řešení existuje právě když
matice soustavy (A − kE) není regulární, tedy právě když

det(A − kE) = 0.

(33)

To je algebraická rovnice pro neznámou k.

Rovnici (33) nazýváme charakteristickou rovnicí matice A.
Vlastní vektory x = (x1, . . . , xn) matice A, které odpovídají vlastním

číslům k najdeme jako netriviální řešení soustavy (32).

Příklad 6.2 Najděme všechna vlastní čísla k matice A =

 3, 2

1, 4

.

58

Všechna vlastní čísla A jsou všechny kořeny charakteristické rovnice A

det(A − kE) =

3 − k,

2

1, 4 − k

= 0 ⇔ k

2 − 7k + 10 = 0.

Tato rovnice má dva reálné kořeny k1 = 2, k2 = 5.
Všechna vlastní čísla matice A jsou čísla 2 a 5.

Příklad 6.3 Najděme všechna vlastní čísla a všechny jim odpovídající vlastní

vektory matice A =

 2, −1

1,

2

.

Všechna vlastní čísla A jsou všechny kořeny charakteristické rovnice A, tedy
rovnice

2 − k,

−1

1, 2 − k

= 0 ⇔ k

2 − 4k + 5 = 0.

Odtud k1 = 2 + i , k2 = 2 − i .
Našli jsme všechna vlastní čísla matice A. Jsou to čísla 2 + i , 2 − i .

Všechny vlastní vektory matice A, které odpovídají vlastnímu číslu 2 + i ,