ULA

.

Vypočtěme

det A =

1,

2, 3

−1,

0, 3

−1, −2, 0

=

1, 2, 3

−1, 0, 3

0, 0, 3

= (−1)

3 · 2

−1, 3

0, 3

= 6.

Jelikož det A = 6 6= 0 je A regulární maticí a existuje A−1.
K sestrojení Adj A musíme vypočítat doplňky všech prvků A.

D11 = (−1)

2

0, 3

−2, 0

= 6,

D12 = (−1)

3

−1, 3
−1, 0

= −3,

D21 = (−1)

3

2, 3

−2, 0

= −6,

D22 = (−1)

4

1, 3

−1, 0

= 3,

D31 = (−1)

4

2, 3
0, 3

= 6,

D32 = (−1)

5

1, 3

−1, 0

= −6,

D13 = (−1)

4

−1, 0
−1, 2

= 2,

D23 = (−1)

5

1,

2

−1, −2

= 0,

D33 = (−1)

6

1, 2

−1, 0

= 2.

Odtud

Adj A =

6, −6,

6

−3,

3, −6

2,

0,

2

.

55

Jelikož A−1 =

1

det A · Adj A, je

A

−1 =

1

6

6, −6,

6

−3,

3, −6

2,

0,

2

=

1, −1,

1

− 1

2 ,

1
2 ,

−1

1
3 ,

0,

1
3

.

6

Vlastní čísla a vlastní vektory matice

V následujícím textu a následujících úlohách se setkáme s komplexními čísly
zapsanými v algebraickém tvaru

z = a + i b,

a ∈ R, b ∈ R, z ∈ C,

a s dvourozměrnými a trojrozměrnými vektory, jejichž souřadnice jsou kom-
plexní čísla.
Uveďme příklad: u = (2, 3 + i ).
Vektor u lze psát ve tvaru u = (2, 3) + i (0, 1).

Obdobně: (3i , 1) = (0, 1) + i (3, 0),

(2 − i , 3 + 4i ) = (2, 3) + i (−1, 4),
(3 − i , 4, 2) = (3, 4, 2) + i (−1, 0, 0),
(5i , i − 3, 4i ) = (0, −3, 0) + i (5, 1, 4).

Označme A matici typu (2, 2),

A =

 3, 2

1, 4

.

Dvourozměrný vektor x = (−2, 1) má ve vztahu k matici A důležitou vlast-
nost, charakterizovanou rovností

 3, 2

1, 4

  −2

1

= 2

 −2

1

.

Zapišme tuto rovnost symbolicky

A · X

T = kXT ,

k = 2, X

T =

 −2

1

.

Číslo k = 2 nazýváme vlastním číslem matice A, nenulový vektor x = (−2, 1)
nazýváme vlastním vektorem matice A příslušným vlastnímu číslu 2.