ULA

dostaneme jako všechna netriviální řešení soustavy lineárních rovnic

(2 − 2 − i )x1 −

x2 = 0,

x1 + (2 − 2 − i )x2 = 0.

Například Gaussovou metodou vypočteme, že to jsou všechny vektory t(i , 1),
t ∈ R − {0}.

Všechny vlastní vektory matice A, které odpovídají vlastnímu číslu 2 − i ,

dostaneme jako všechna netriviální řešení soustavy lineárních rovnic

(2 − 2 + i )x1 −

x2 = 0,

x1 + (2 − 2 + i )x2 = 0.

Například Gaussovou metodou vypočteme, že to jsou všechny vektory t(−i , 1),
t ∈ R − {0}.

Příklad 6.4 Najděme všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory, které

odpovídají největšímu vlastnímu číslu matice A =

2, 1, 3
1, 3, 2
3, 2, 1

.

Všechna vlastní čísla A jsou všechny kořeny charakteristické rovnice A, tedy
rovnice

2 − k,

1,

3

1, 3 − k,

2

3,

2, 1 − k

= 0 ⇔ k

3 − 6k2 − 3k + 18 = 0.

59

Kořeny charakteristické rovnice (k3 − 6k2 − 3k + 18 = (k − 6)(k2 − 3) = 0),
tedy čísla k1 = 6, k2 =

√

3, k3 = −

√

3, jsou všechna vlastní čísla matice A.

Najděme vlastní vektory (x1, x2, x3) odpovídající vlastnímu číslu k1 = 6. Vek-
tory najdeme jako všechna netriviální řešení homogenní soustavy lineárních
rovnic

−4x1 +

x2 + 3x3 = 0,

x1 − 3x2 + 2x3 = 0,

3x1 + 2x2 − 5x3 = 0.

Užijme Gaussovu eliminační metodu

−4,

1,

3

1, −3,

2

3,

2, −5

∼

1,

−3,

2

0, −11,

11

0,

11, −11

∼

 1, −3, 2

0, −1, 1

.

Odtud

x1 − 3x2 + 2x3 = 0,

−

x2 +

x3 = 0.

Zvolme x3 = t. Potom x2 = t, x1 = t.
Všechna netriviální řešení soustavy jsou vektory t(1, 1, 1), t ∈ R − {0}.
Všechny vlastní vektory zadané matice A, které odpovídají jejímu největšímu
vlastnímu číslu k1 = 6, jsou vektory t(1, 1, 1), t ∈ R − {0}.