ULA
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
A =
2, 3
−1, k
užitím jejího determinantu.
Vypočtěme det A = 2k + 3.
a) h(A) = 2 ⇔ det A 6= 0, tedy k 6= −
3
2 .
b) h(A) = 1 ⇔ det A = 0, tedy k = −
3
2 .
Příklad 5.20 Užitím determinantů najděme hodnost matice
A =
2,
3, −1
0,
1,
2
1, −1,
3
.
Vypočtěme
det A =
2,
3, −1
0,
1,
2
1, −1,
3
=
0,
5, −7
0,
1,
2
1, −1,
3
= 1 · (−1)
4
5, −7
1,
2
= 17 6= 0.
det A 6= 0 ⇒ h(A) = 3.
Příklad 5.21 Užitím determinantů najděme hodnost matice
A =
2, 3, −1
0, 1,
2
2, 4,
1
.
Vypočtěme
det A =
2, 3, −1
0, 1,
2
2, 4,
1
=
0, −1, −2
0,
1,
2
2,
4,
1
= 0.
det A = 0 ⇒ h(A) < 3.
Jelikož však např. subdeterminant příslušný prvku a11, tedy
S11 =
1, 2
4, 1
= −7 6= 0, je h(A) = 2.
50
5.3
Užití determinantů - Cramerovo pravidlo
Kapitolu 5 nazvanou Determinanty jsme uvedli vyřešením soustavy dvou
lineárních rovnic pro dvě neznámé. Vraťme se k této soustavě:
a11x1 + a12x2 = b1,
a21x1 + a22x2 = b2.
Pro (a11a22 − a12a21) 6= 0 jsme vypočítali (20), (21)
x1 =
a22b1 − a12b2
a11a22 − a12a21
,
x2 =
a11b2 − a21b1
a11a22 − a12a21
.
Užitím determinantů lze psát
x1 =
b1, a12
b2, a22
a11, a12
a21, a22
,
x2 =
a11, b1
a21, b2
a11, a12
a21, a22
.
(28)
Počítáme-li hodnoty neznámých x1, x2 pomocí (28) za předpokladu, že
a11, a12
a21, a22
6=
0, říkáme, že zadanou soustavu lineárních rovnic řešíme užitím Cramerova
pravidla.
Příklad 5.22 Užitím Cramerova pravidla řešme soustavu 4x1 − x2 = 3,
2x1 + x2 = 5.
Vypočtěme
D =
4, −1
2,
1
= 6,
D1 =
3, −1
5,
1
= 8,
D2 =
4, 3
2, 5
= 14.
Potom
x1 =
D1
D
=
8
6
=
4
3
,
x2 =
D2
D
=
14
6
=
7
3
.
Soustava má jediné řešení (x1, x2) =
4
3 ,
7
3
.
Příklad 5.23 Užitím Cramerova pravidla řešme soustavu 5x1 +
x2 = 9,
x1 + 4x2 = 7.
51
Vypočtěme
D =
5, 1
1, 4
= 19,