ULA

Determinant upravíme tak, aby například v prvním sloupci byly dva prvky
rovny nule (ke druhému řádku přičteme (−2) násobek prvního řádku a ke tře-
tímu řádku přičtene (−4) násobek prvního řádku) a determinant rozvedeme
podle prvků tohoto nového prvního sloupce.

D =

1, 2,

4

2, 3,

1

4, 9, 10

=

1,

2,

4

0, −1, −7
0,

1, −6

= 1 · (−1)

2

−1, −7

1, −6

= 13.

5.2

Užití determinantů k nalezení hodnosti matice

Ukážeme souvislost mezi regularitou matice A a hodnotou det A.

Mějme matici A =

 2, 3

4, 1

. A je matice typu (2, 2) a je vidět, že

h(A) = 2. Tedy A je regulární matice. Vypočtěme det A = −10 6= 0.

Mějme matici B =

 2, 3

6, 9

. B je matice typu (2, 2) a je vidět, že

h(B) = 1. Tedy B není regulární matice. Vypočtěme det B = 18 − 18 = 0.

Mějme matici A =

2, 3, 0
0, 4, 2
0, 0, 3

. A je matice typu (3, 3) a h(A) = 3.

Tedy A je regulární matice. Vypočtěme det A = 24.

Mějme matici B =

2, 3, 0
0, 4, 2
0, 2, 1

. B je matice typu (3, 3) a h(B) = 2.

Tedy B není regulární matice. Vypočtěme det B = 2(4 − 4) = 0.

Věta 5.17 Mějme nenulovou matici A typu (2, 2). Potom platí

h(A) = 2 ⇔ det A 6= 0,
h(A) = 1 ⇔ det A = 0.

49

Podobně pro matici typu (3, 3) platí následující tvrzení.

Věta 5.18 Mějme nenulovou matici A typu (3, 3). Potom platí

h(A) = 3 ⇔ det A 6= 0,
h(A) = 2 ⇔ det A = 0 a alespoň jeden se subdeterminantů Sij příslušný

prvku aij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 matice A není roven nule,

h(A) = 1 ⇔ det A = 0 a současně Sij = 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3.

Příklad 5.19 V závislosti na parametru k zjistěme hodnost matice