ULA

A · X = E

nebo úlohou: řešme maticovou rovnici

X · A = E.

Stejně tak úloha: Řešme soustavu lineárních rovnic AX = B, kde A je re-
gulární matice soustavy, X je matice neznámých, B je matice pravých stran
rovnic soustavy, je úlohou: řešme maticovou rovnici

AX = B.

5

Determinanty

Determinanty druhého řádu

Mějme soustavu dvou lineárních rovnic pro dvě neznámé x1, x2,

a11x1 + a12x2 = b1,
a21x1 + a22x2 = b2;

a11, a12, a21, a22, b1, b2 jsou reálná čísla.
Vynásobme první rovnici soustavy číslem a22 a druhou rovnici soustavy čís-
lem a12. Dostáváme

a11a22x1 + a12a22x2 =

a22b1,

−a12a21x1 − a21a22x2 = −a12b2.

Sečtením rovnic dostaneme

(a11a22 − a12a21) x1 = a22b1 − a12b2.

Je-li (a11a22 − a12a21) 6= 0, můžeme psát

x1 =

a22b1 − a12b2

a11a22 − a12a21

.

(20)

Podobně pro x2

x2 =

a11b2 − a21b1

a11a22 − a12a21

.

(21)

40

Všimněme si jmenovatelů obou zlomků. V obou případech je stejný a obsa-
huje jen prvky matice soustavy A,

A =

 a

11,

a12

a21, a22

.

Definice 5.1 Číslo a11a22 − a12a21, kde aij, i = 1, 2; j = 1, 2; jsou reálná
čísla, nazveme determinat druhého řádu. Značíme jej

a11, a12
a21, a22

.

(22)

Tedy

a11, a12
a21, a22

= a11a22 − a12a21.

(23)

Poznámka 5.2 O determinantu

a11, a12
a21, a22

se též mluví jako o determi-

nantu matice A =

 a

11,

a12

a21, a22

, a značíme det A.

Čísla a11, a12, a21, a22 nazýváme prvky determinantu.
Čísla a11, a22 tvoří hlavní diagonálu determinantu.
Čísla a12, a21 tvoří vedlejší diagonálu determinantu.

Uvědomíme si: Determinant

a11, a12
a21, a22

vypočítáme tak, že od součinu prvků

stojících na hlavní diagonále odečteme součin prvků stojících na vedlejší di-
agonále.

Příklad 5.3 Vypočítejme det A, je-li

1. A =

 3,

4

2, −5

.

det A =

3,

4

2, −5

= 3 · (−5) − 2 · 4 = −23.