ULA
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
y − 2z = −1.
Maticový zápis soustavy má tvar
A · X = B,
kde
A =
1, 2, −1
−2, 3,
1
2, 1, −2
,
X =
x
y
z
B =
1
2
−1
.
Vypočtěme A−1:
1, 2, −1
−2, 3,
1
2, 1, −2
1, 0, 0
0, 1, 0
0, 0, 1
∼ . . . ∼
1, 0, 0
0, 1, 0
0, 0, 1
7
3 ,
−1, − 5
3
2
3 ,
0, −
1
3
8
3 ,
−1, − 7
3
,
tedy
A
−1 =
1
3
7, −3, −5
2,
0, −1
8, −3, −7
a
X = A
−1 · B =
1
3
7, −3, −5
2,
0, −1
8, −3, −7
1
2
−1
=
2
1
3
.
Jediné řešení zadané soustavy je (x, y, z) = (2, 1, 3).
4.2
Maticové rovnice
Rovnice, v nichž neznámou je matice, obvykle ji značíme X, nazýváme mati-
cové rovnice. Maticové rovnice se (ve většině případů) řeší stejným postupem
jako rovnice pro reálnou neznámou x. Snahou je upravit maticovou rovnici
na tvar, kdy neznámá matice X je na jedné straně rovnice, známé matice na
straně druhé. Při úpravách maticových rovnic musíme míti stále na paměti,
že násobení matic není komutativní a dělení matic není definováno. Operaci
dělení nahrazuje operace násobení inverzní maticí.
Některé typy maticových rovnic a postup jejich řešení ukážeme na příkladech.
37
Příklad 4.24 Řešme maticovou rovnici X·A = 2B−E, kde A =
3, 1
5, 2
,
B =
2, 4
1, 0
, E je jednotková matice typu (2, 2) a X je neznámá matice.
Jelikož A je regulární matice, existuje jediná matice A−1 =
2, −1
−5,
3
(ověřte správnost výpočtu matice A−1).
Zadanou rovnici vynásobíme maticí A−1 zprava
X · A · A
−1 = (2B − E) · A−1.
Potom
XE = (2B − E)A−1
X = (2B − E)A−1
X =
3,
8
2, −1
2, −1
−5,
3
=
−34,
21
9, −5
.
Příklad 4.25 Řešme maticovou rovnici A·X = B+A, kde A =
3, 1
5, 2
,
B =
2, 4
1, 0
, X je neznámá matice.
Jelikož A je regulární matice, existuje A−1. Vynásobme zadanou rovnici
maticí A−1 zleva.