ULA

Lze soudit, že ne ke každé matici existuje matice inverzní. Inverzní matice
existuje pouze k matici, kterou nazýváme regulární.

Definice 4.16 Matici A nazveme regulární maticí, je-li typu (n, n) (t.j. je
čtvercová) a její hodnost h = n.

Příklad 4.17 Ověřme, že A je regulární matice a že C = A−1, je-li

A =

1, 2, 4

−1, 0, 2

2, 1, 0

,

C =

−1,

2,

2

2, −4, −3

− 1

2 ,

3
2 ,

−1

.

1, 2, 4

−1, 0, 2

2,

1 0

∼

1,

2,

4

0,

2,

6

0, −3, −8

∼

1, 2, 4
0, 1, 3
0, 0, 2

= B.

h(B) = h(A) = 3.
A je typu (3, 3) a její hodnost h = 3 ⇒ A je regulární matice.

1, 2, 4

−1, 0, 2

2, 1, 0

−1,

2,

2

2, −4, −3

− 1

2 ,

3
2 ,

−1

=

1, 0, 0
0, 1, 0
0, 0, 1

.

AC = E ⇒ C je inverzní maticí k matici A, C = A−1.

31

Výpočet inverzní matice užitím Gaussovy metody

Gaussova metoda pro výpočet inverzní matice k regulární matici A vychází
ze základního vztahu

A · A

−1 = E.

Při výpočtu A−1 postupujeme takto:
Napíšeme matici (A|E), sestavenou z regulární matice A a jednotkové matice
E, stejného typu jako A.
Ekvivalentními úpravami, prováděnými s řádky matice (A|E) (tedy tzv.
Gaussovou eliminací), převedeme tuto matici na matici, kde na místě A
stojí E. To však znamená, že jsme v konečném počtu kroků matici A, stojící
na levé straně (A|E), vynásobili maticí A−1 a tedy i matici E, stojící na
pravé straně (A|E), jsme vynásobili maticí A−1. Na místě E stojí tedy A−1
a matice má tvar (E|A−1).

Příklad 4.18 Vypočtěme inverzní matici k regulární matici A =

 3, 7

2, 5

užitím Gaussovy metody.

1. Napíšeme matici

 3, 7

2, 5

1, 0
0, 1

.

2. Gaussovou eliminací upravíme tuto matici na matici lichoběžníkovou
 3,

7

0, −1

1,

0

2, −3