ULA
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Označme A matici této soustavy a Ar rozšířenou maticí této soustavy.
Jelikož Ar se od A liší sloupcem obsahujícím samé nuly, je h(A) = h(Ar).
Homogenní soustava (18) má tedy vždy alespoň jedno řešení (x1, x2, . . . , xn) =
(0, 0, . . . , 0), zvané triviální řešení.
Homogenní soustava (18) může míti kromě triviálního řešení i nekonečně
mnoho řešení netriviálních (nenulových). Následující věta nás informuje o
struktuře množiny všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic.
Věta 3.12 Množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic pro
n neznámých x1, x2, . . . , xn je podprostorem aritmetického vektorového pro-
storu R
n. Dimenze tohoto podprostoru je rovna číslu n − h(A), A je matice
soustavy.
Příklad 3.13 Najděme dimenzi vektorového podprostoru V všech řešení za-
dané homogenní soustavy lineárních rovnic a najděme všechna řešení této
soustavy.
2x1 −
3x2 +
x3 +
5x4 = 0,
3x1 +
2x2 −
4x3 +
2x4 = 0,
5x1 + 12x2 − 14x3 −
4x4 = 0,
3x1 − 11x2 +
7x3 + 13x4 = 0.
Víme, že V je podprostorem prostoru R
4, tedy dim V ≤ 4. Napišme ma-
tici soustavy. Sečtením vhodných násobků řádků (např. podle naznačených
pokynů) sestrojíme lichoběžníkovou matici ekvivalentní s maticí soustavy.
2,
−3,
1,
5
3,
2,
−4,
2
5,
12, −14, −4
3, −11,
7,
13
−3
2
−5
2
−3
2
∼
2,
−3,
1,
5
0,
13, −11, −11
0,
39, −33, −33
0, −13,
11,
11
∼
2, −3,
1,
5
0,
13, −11, −11
= B
1. h(B) = 2 ⇒ h(A) = 2, dim V = n − h(A) = 4 − 2 = 2.
2. Ekvivalentní soustava se zadanou soustavou má tvar
2x1 −
3x2 +
x3 +
5x4 = 0,
13x2 − 11x3 − 11x4 = 0.
Položme například x3 = t, x4 = r, kde t, r jsou reálné parametry. Potom
x1 =
11
13
t −
35
13