ULA

= 2

8t − (2 − 7t) + 3(1 − 5t)

= 1

Říkáme, že soustava má nekonečně mnoho řešení.

x1 + x2 = 2

Soustava tří lineárních algebraických rovnic

3x1 − x2 = 4

pro neznámé x1, x2

x1 − x2 = 3

A =

1,

1

3, −1
1, −1

Matice soustavy.

18

Ar =

1,

1

3, −1
1, −1

2
4
3

Rozšířená matice soustavy.

Lze ukázat, že neexistuje vektor (u1, u2), jehož souřadnice u1, u2, dosazené za
x1, x2 by převedly soustavu rovnic na soustavu rovností. Říkáme, že soustava
nemá řešení.

Jistě jste si všimli, že v minulých třech příkladech nastaly postupně tyto

situace:
Soustava lineárních rovnic má jediné řešení.
Soustava lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení.
Soustava lineárních rovnic nemá řešení.

Jak zjistit kolik řešení má soustava lineárních rovnic a jakým postupem

řešení najít, ukážeme v následujícím. Nejdříve obecné pojmy.

Definice 3.1 Soustavu

a11x1 +

a12x2 + . . . +

a1nxn = b1,

a21x1 +

a22x2 + . . . +

a2nxn = b2,

..

.

..

.

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,

(17)

kde xi jsou neznámé, aij, bj, i = 1, . . . n, j = 1, . . . m, jsou známá reálná
čísla, nazveme soustavou m lineárních rovnic o n neznámých.

Soustavě (17) přiřadíme dvě následující matice:

A =

a11,

a12, . . .

a1n

a21,

a22, . . .

a2n

..

.

am1, am2, . . . amn

,

A nazýváme maticí soustavy (17),

Ar =

a11,

a12, . . .

a1n

a21,

a22, . . .

a2n

..

.

am1, am2, . . . amn

b1
b2

..

.

bm

,

Ar nazýváme rozšířenou maticí
soustavy (17).

Definice 3.2 Řešením soustavy lineárních rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn
nazveme každý vektor u = (u1, u2, . . . , un); jehož souřadnice ui dosazeny za
xi do rovnic soustavy, převedou soustavu rovnic v soustavu rovností.

Domluvíme se, že řešit soustavu znamená najít všechna její řešení.