ULA

(2, −5, −8)

čtvrtý řádek matice B

Sestrojme lineární obal řádků matice B (na řádky se díváme jako na tříroz-
měrné aritmetické vektory).
V = L h(−1, 3, 2), (0, 1, −4), (1, −4, 2), (2, −5, −8)i, V je podprostor R

3. Ptejme

se po dim V :
Jelikož mezi skupinou generátorů u1 = (−1, 3, 2), u2 = (0, 1, −4), u3 =
(1, −4, 2), u4 = (2, −5, −8) jsou např. u1, u2 lineárně nezávislé a u3 =
−u1 − u2, u4 = −2u1 + u2 je dim V = 2 a tedy

h(B) = 2

14

Definice 2.3 Hodností matice A nazýváme číslo h(A), které je rovno di-
menzi lineárního obalu řádků matice A, na které se díváme jako na aritme-
tické vektory.

Jiná formulace:

Definice 2.4 Hodností matice A nazýváme číslo h(A), které je rovno ma-
ximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice A.

Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice

Najít hodnost matice není obtížné, jedná-li se o matici trojúhelníkovou či
lichoběžníkovou.

A =

3, 2,

1

0, 1, −2
0, 0,

4

A je trojúhelníková matice

Skupina tří vektorů h(3, 2, 1), (0, 1, −2), (0, 0, 4)i je lineárně nezávislá, neboť

α(3, 2, 1) + β(0, 1, −2) + γ(0, 0, 4) = (0, 0, 0) ⇔ α = β = γ = 0.

Tedy h(A) = 3.

B =

 2,

4, 3

0, −1, 5

,

h(B)=2.

C =

3, 3,

5,

0, −3

0, 1,

2,

1,

4

0, 0, −2, −1,

0

,

h(C)=3.

D =

5, 2, 1, 4

 ,

h(D)=1.

Věta 2.5 Hodnost lichoběžníkové matice typu (m, n) je rovna menšímu z
čísel m, n.

Máme-li najít hodnost h(A) matice A která není lichoběžníková, potom,

pomocí úprav, které nemění hodnost matice a které nazýváme ekvivalentní
úpravy matice, sestrojíme k matici A lichoběžníkovou matici B. Pro h(A),
h(B) platí

h(A) = h(B).

Ekvivalentní úpravy matice jsou tyto:
1. Změna pořadí řádků.
2. Vynásobení řádku nenulovým číslem.