ULA

3 je lineárně nezávislá, tvoří tedy bázi R3.

Definice 1.16 Označme V vektorový podprostor prostoru R

n. Skupinu

B = hu1, . . . , uki, ui ∈ V pro i = 1, . . . , k, která má vlastnosti:
1. je lineárně nazávislá,
2. každý vektor u ∈ V je lineární kombinací vektorů této skupiny,
nazveme bází V .

Příklad 1.17 Ukažte, že V = {(k, l, 0) ∈ R

3 : k ∈ R, l ∈ R} je vektorový pod-

prostor prostoru R

3 a skupina B = h(2, 1, 0), (−1, 1, 0)i je bází V .

(Všimněme si, že vektor (k, l, m) ∈ R

3 patří do V právě tehdy, když m = 0.)

Označme u = (k1, l1, 0), v = (k2, l2, 0) dva libovolné vektory z V . Potom
u + v = (k1 + k2, l1 + l2, 0) ∈ V . Označme u = (k1, l1, 0) ∈ V a α ∈ R. Potom
(αu) = (αk1, αl1, 0) ∈ V . Ukázali jsme:
Je-li u ∈ V, v ∈ V ⇒ (u + v) ∈ V .
Je-li u ∈ V, α ∈ R ⇒ (αu) ∈ V .
Přitom tyto operace definované stejně jako v R

3 mají vlastnosti AI až AVIII.

Tedy V je podprostor prostoru R

3.

Skupina B = h(2, 1, 0), (−1, 1, 0)i je jistě bází prostoru V , neboť
1. a(2, 1, 0) + b(−1, 1, 0) = (0, 0, 0) ⇔ a = 0 ∧ b = 0, tedy B je skupina
lineárně nezávislých vektorů.
2. Označme u = (k, l, 0), což je (obecně zadaný) vektor z V . Potom (k, l, 0) =

k+l

3 (2, 1, 0) +

2l−k

3

(−1, 1, 0). To znamená, že každý vektor z V lze vyjádřit jako

lineární kombinaci skupiny vektorů B.
B je tedy bází V .

1.5

Dimenze

Z předchozího víme, že jakákoliv báze vektorového prostoru R

2 obsahuje dva

vektory prostoru R