ULA

M2 = L h(−1, 3), (1, 2)i.
Je zřejmé, že L h(−1, 3), (1, 2)i ≡ R

2, neboť h(−1, 3), (1, 2)i je bází R2.

Lineárním obalem skupiny h(1, 2, −1), (1, 0, 1)i vektorů z R

3 je množina

M3 =

u ∈ R

3 : u = α(1, 2, −1) + β(1, 0, 1), α ∈ R, β ∈ R  ,

M3 = L h(1, 2, −1), (1, 0, 1)i.

Definice 1.21 Množinu M všech lineárních kombinací skupiny vektorů hu1, . . . , uki,
kde u1, . . . , uk jsou z vektorového prostoru R

n, nazýváme lineárním obalem

skupiny hu1, . . . , uki. Píšeme M = L hu1, . . . , uki

11

Skupinu hu1, . . . , uki nazýváme skupinou generátorů množiny L hu1, . . . , uki

Říkáme též, že skupina hu1, . . . , uki generuje L hu1, . . . , uki.

Věta 1.22 Lineární obal skupiny vektorů z R

n je podprostorem prostoru Rn.

Důkaz tohoto důležitého tvrzení najdete v [1], str.34. Doporučujeme tento

důkaz pozornosti stejně tak, jako následující tvrzení, jehož důkaz je opět v
[1] na str.35.

Věta 1.23 Označme hu1, . . . , uki, ui ∈ R

n, i = 1, . . . , k, skupinu generátorů

vektorového podprostoru V prostoru R

n, tj. V = L hu

1, . . . , uk i. Provedeme-li

se zadanou skupinou generátorů některou z následujících změn, získáme no-
vou skupinu generátorů V :
1. Vynásobíme některý z vektorů skupiny nenulovým číslem.
2. Přičteme k některému vektoru skupiny lineární kombinaci zbývajících vek-
torů skupiny.
3. Vypustíme ze skupiny vektor, který je lineární kombinací zbývajících vek-
torů skupiny.
4. Přidáme k vektorům skupiny vektor, který je lineární kombinací vektorů
skupiny.

Rozmyslete si pravdivost tvrzení:

Tvrzení 1.24 Každý aritmetický vektorový prostor R