ULA

2. Říkáme, že R2 má dimenzi dvě.

Jakákoliv báze vektorového prostoru R

3 obsahuje tři vektory prostoru R3.

Říkáme, že R

3 má dimenzi rovnu číslu tři.

Definice 1.18 Dimenzí vektorového prostoru R

n nazýváme počet členů báze,

tedy

dim R

n = n.

(14)

10

Definice 1.19 Označme V vektorový podprostor aritmetického vektorového
prostoru R

n. Potom

dim V

= 0

právě když V je triviální,

(15)

dim V

= k

právě když k je počet členů báze prostoru V .

(16)

Příklad 1.20 Najděme dim V , kde V je podprostor prostoru R

4, přitom V =

{(0, −α, 0, β) ∈ R

4 : α ∈ R, β ∈ R}.

Sestrojme nějakou bázi prostoru V :
Tvrdíme, že bází je např. skupina B = h(0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)i. Abychom
ukázali pravdivost tvrzení, musíme ukázat dvě věci:
1. Vektory (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1) jsou lineárně nezávislé. To jistě je pravda,
neboť ani jeden vektor není násobkem druhého.
2. Libovolný vektor z V lze vyjádřit ve tvaru lineární kombinace vektorů
báze. I toto tvrzení je pravdivé, neboť

(0, −α, 0, β) = −α(0, 1, 0, 0) + β(0, 0, 0, 1).

B = h(0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)i je dvoučlenou bází V , tedy dim V = 2.

1.6

Lineární obal skupiny vektorů

Zvolme v R

2 skupinu vektorů h(−1, 3), (2, −6)i a označme M

1 množinu všech

lineárních kombinací vektorů této skupiny, tedy

M1 =

u ∈ R

2 : u = α(−1, 3) + β(2, −6), α ∈ R, β ∈ R  .

Množinu M1 nazýváme lineárním obalem skupiny h(−1, 3), (2, −6)i a značíme
M1 = L h(−1, 3), (2, −6)i.
Lineárním obalem skupiny h(−1, 3), (1, 2)i vektorů z R

2 je množina

M2 =

u ∈ R

2 : u = α(−1, 3) + β(1, 2), α ∈ R, β ∈ R  ,