ULA

Skupina vektorů hu1, u2, . . . , uki, ui ∈ R

n, i = 1, . . . , k, je lineárně zá-

vislá právě tehdy, existují-li reálná čísla α1, . . . , αk, z nichž alespoň jedno je
nenulové, tak, že platí

α1u1 + α2u2 + · · · + αkuk = o.

Příklad 1.7 Užitím předchozí věty rozhodněme, zda skupina vektorů
h(1, 0, 1), (−3, 2, −1), (2, 1, 3)i je lineárně závislá či lineárně nezávislá.

Napišme vektorovou rovnici

α1(1, 0, 1) + α2(−3, 2, −1) + α3(2, 1, 3) = (0, 0, 0)

Rozepsáním vektorové rovnice do souřadnic dostáváme soustavu rovnic pro
neznámé α1, α2, α3.

α1 − 3α2 + 2α3 = 0,

2α2 +

α3 = 0,

α1 −

α2 + 3α3 = 0.

Po úpravě (odečtením první rovnice od třetí)

α1 − 3α2 + 2α3 = 0,

2α2 +

α3 = 0,

2α2 +

α3 = 0.

Tato soustava má kromě nulového řešení i řešení nenulová, např. α1 = −7,
α2 = −1, α3 = 2. To však znamená, že zadaná skupina vektorů je lineárně
závislá.

Příklad 1.8 Rozhodněme, zda skupina vektorů h(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)i je
lineárně závislá či lineárně nezávislá.

Postupujeme jako v předchozím příkladu.

α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0).

6

Rozepsáním do souřadnic

α1

= 0,

α2

= 0,

α3 = 0.

Tato soustava má jediné řešení, a to nulové zvané triviální, tj. α1 = α2 =
α3 = 0. Zadaná skupina vektorů je lineárně nezávislá.

Zamyslíme-li se nad pojmy lineární závislost a lineární nezávislost sku-

piny vektorů, jistě řekneme, že jsou pravdivá následující tvrzení.

1. Lineární závislost či nezávislost skupiny vektorů nezávisí na tom, v ja-
kém pořadí vektory skupiny napíšeme.
2. Přidáme-li ke skupině lineárně závislých vektorů z R