ULA

k(x1, x2, . . . , xn) = (kx1, kx2, . . . , kxn), k ∈ R.

(2)

Rovnost vektorů:

(x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn) ⇔ x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn.

(3)

Poznámka 0.1 Sčítáme stejněrozměrné vektory. Součet dvou n-rozměrných
vektorů je n-rozměrný vektor. Součin reálného čísla a n-rozměrného vektoru
je n-rozměrný vektor.

1

Aritmetický vektorový prostor

Aritmetickým dvourozměrným vektorovým prostorem R

2 nazýváme množinu

všech aritmetických dvojrozměrných vektorů. Přitom, jsou-li u = (u1, u1),
v = (v1, v2) dva libovolné vektory z R

2 a k je libovolné reálné číslo, potom

součet u + v = (u1 + v1, u2 + v2) a součin ku = (ku1, ku2) jsou vektory z R

2.

Vlastnost: u ∈ R

2, v ∈ R2 ⇒ (u + v) ∈ R2 se nazývá uzavřenost pro-

storu R

2 vůči operaci sčítání.

Vlastnost: u ∈ R

2, k ∈ R ⇒ ku ∈ R2 se nazývá uzavřenost prostoru R2 vůči

operaci násobení vektoru reálným číslem.
Snadno lze ukázat, že pro libovolné vektory u, v, w z R

2 a libovolná reálná

čísla a, b platí

AI

: u + v = v + u,

(4)

AII

: (u + v) + w = u + (v + w),

(5)

2

AIII

: a(bu) = (ab)u,

(6)

AIV

: a(u + v) = au + av,

(7)

AV

: (a + b)u = au + bu,

(8)

AV I

: 1 · u = u,

(9)

v R

2 existuje jediný vektor o = (0, 0), zvaný nulový vektor a platí

AV II : u + o = u,

(10)

a ke každému vektoru u ∈ R

2 existuje vektor −u (zvaný opačný vektor k

vektoru u) a platí

AV III : u + (−u) = o.

(11)

O vlastnostech početních operací AI až AVIII se mluví jako o axiomech
vektorového prostoru.

Aritmetický třírozměrný vektorový prostor R

3 je množina všech tříroz-